لینک پرداخت و دانلود *پایین مطلب*
فرمت فایل:Word (قابل ویرایش و آماده پرینت)
تعداد صفحه11
تحلیل مساله کوتاهترین مسیر در گراف جهت دار
اگر یک گراف جهت دار باشد فرض کنید هر لبه با وزن مشخص می گردد و هزینه رفتن مستقیم از گره i به j را مشخص میسازد بزودی الگوریتم دایجسترا را که برای یافتن کوتاهترین مسیر در گراف با وزن های مثبت کاربرد دارد را بیان میکنیم . در این بخش و بخش بعدی دو مساله مرتبط با گراف را بیان خواهیم کرد .
1 ) گراف G را در نظر بگیرید ( وزن دار ) اگر این گراف دارای سیکل منفی باشد آنگاه یک سیکل جهت دار c مثل :
2) اگر گراف شامل هیچ دوره ( سیکل) منفی نباشد یافتن مسیری به نام p از گره آغازی s و گره پایانی t با کمترین هزینه : باید کمترین باشد به ازای هر مسیر از s به t . این مساله به هر دو نام مسیر با کمترین هزینه و کوتاهترین مسیر نامیده می شود .
طراحی و آنالیز الگوریتم :
اکنون با شروع تعریف مجدد الگوریتم دایجسترا که برای یافتن کوتاهترین مسیر در گراف هایی که وزن منفی ندارند شروع میکنیم .
در این گراف یک مسیر از s به t با ملاقات چندین دفعه دوره ( سیکل ) C بدست می آید .
کوتاهترین مسیر با شروع از گره آغازین s به هر نود v در یک گراف اصولا یک الگوریتم حریصانه است . ایده اصلی از یک مجموعه S تشکیل شده است که کوتاهترین مسیر از هر نود s به هر نود داخل مجموعه S شناخته شده است . در این شکل این الگوریتم را نشان می دهیم با شروع میکنیم . ما میدانیم کوتاهترین مسیر از s به s دارای هزینه صفر است زمانیکه هیچ لبه با وزن منفی نداشته باشیم . سپس این عنصر را به طور حریصانه به مجموعه اضافه میکنیم . در طی مرحله اول الگوریتم حریصانه ما کمترین هزینه لبه های گره s را تشکیل خواهیم داد . بعبارت دیگر یعنی : . یک نکته مهم با توجه به الگوریتم دایجسترا این است که کوتاهتری مسیر از s به v با یک یال نمایش داده می شود بنابراین بلافاصله نود v را به مجموعه S اضافه میکنیم . پس مسیر مسلما کوتاهترین مسیر به v است اگر هیچ یالی با هزینه منفی نداشته باشیم . مسیر های دیگر از s به v باید از یک یال خارج شده از s که حداقل هزینه بیشتری نسبت به لبه (s,v) داشته باشند شروع میشوند .
این ایده همواره صحیح نیست بویژه زمانی که دارای لبه های با وزن منفی هستیم .
یک ایده برنامه نویسی پویا :
یک روش برنامه نویسی پویا سعی بر حل این مساله برای یافتن کوتاهترین مسیر از s به t زمانیکه لبه با وزن منفی داشته باشیم اما سیکل ( دوره ) با طول منفی نداشته باشیم . زر مساله i می تواند کوتاهترین مسیر را تنها بوسیله استفاده از i گره اولیه پیدا کند . این ایده بلافاصله جواب نمی دهد بلکه با اعمال اندکی تغییرات جواب دلخواه را به ما میدهد . الگوریتم Bellman-Ford algorithm این الگوریتم را بوسیله برنامه نویسی پویا مطرح کرده و حل کرده اند .
مقاله در مورد تحلیل مساله کوتاهترین مسیر در گراف جهت دار
