دینامیک ذره: مختصات های مستطیلی (متعامد)
1. 12: در این فصل دینامیک (کینماتیک و کینتیک) ذره را در سیستم مختصات مستطیلی مطالعه می کنیم. بحث محدود به تک ذره ای ها می باشد و محورهای مختصات ثابت فرض می گردند؛ یعنی، حرکت نمی کنند. دینامیک دو یا چند ذره متعامل و کینماتیک حرکت نسبی در این فصل شامل می شوند.
تعریف متغیرهای کینماتیکی اساسی (موقعیت، سرعت و شتاب) که در فصل قبلی نشان داده شدند ترجیحی برای سیستم مختصاتی ایجاد ننمودند. بنابراین؛ این تعاریف درهر چهار چوب مرجع ثابتی عملی هستند. معهذا، سیستم مختصات خاصی زمانی که می خواهیم حرکت را توصیف نمائیم ضروری می باشد. در این جا ساده ترین نوع از تمام چهارچوب های مرجع را بکار می گیریم: سیستم مختصات کارتزی. گرچه مختصات های مستطیلی می توانند در حل هر مسئله ای مورد استفاده قرار گیرند، ولی برای چنین کاری همیشه مناسب نمی باشند. غالباً سیستم های مختصات منحنی خطی توصیف شده در فصل بعدی منجر به تحلیل آسان تر می گردند.
مختصات های مستطیلی طبیعتاً برای تحلیل حرکت در امتداد مستقیم یا حرکت منحنی که می تواند با فرا موقعیت حرکت های در امتداد خط مستقیم تعریف گردد، مثل پرواز پرتابه مناسب است. این دو کاربرد بدنه این فصل را تشکیل می دهند.
مسأله مهمی از کینماتیک درتحلیل حرکت در امتداد خط مستقیم ارائه می شود به معلوم بودن شتاب زده، سرعت و موقعیت آن را تعیین میکنند. این کار که برابر با حل معادله دیفراسیلی درجه دوم می باشد. بطور تکراری در سرتاسر دینامیک اهمیت عملی بزرگی می باشد زیرا معادلات نمی توانند همیشه بوسیله تحلیلی انتگرال گیری شوند.
2. 12 کینماتیک
شکل (a) 1-12 مسیر ذره A رانشان می دهد که درچهارچوب مرجع مستطیلی ثابتی حرکت می نماید. با درنظر گرفتن k, j, I به عنوان بردارهای پایه (بردارهای یکه)، بردار موقعیت ذره می تواند به شکل ذیل نوشته شود.
(1-12)
که x و y و مختصات های مستطیلی وابسته زمانی ذره هستند.
بابکارگیری تعریف سرعت، معادله (10-11) و مشتق گیری قاعده زنجیره ای، معادله (4. 11) ذیل را بدست می آوریم.
از این که محورهای مختصات ثابت هستند، بردارهای پایه ثابت باقی می مانند که
بنابراین سرعت به شکل ذیل می گردد که مولفه های مستطیلی، نشان داده شده در شکل (a) 1-12 به شکل ذیل می باشند.
همین طور تعریف شتاب، معادله (13. 11) ذیل را حاصل می سازد.
بنابراین شتاب به شکل زیر می باشد
با مولفه های مستطیلی (متعامد) [شکل (b) (1. 12) را نگاه کنید]
a. حرکت صفحه ای
حرکت صفحه ای در کاربردهای مهندسی برای تضمین کردن توجه خاص اغلب به حد کافی اتفاق می افتد. شکل (b) 2-12 مسیر ذره A را نشان می دهد که در صفحه y و x حرکت می نماید. برای بدست آوردن مولفه های متعامد دو بعدی r وV و a در معادلات (5-12) – (1-12) را قرار می دهیم نتایج به شکل ذیل هستند.
شکل (b)2. 12 مولفه های مستطیلی (متعامد) سرعت را نشان می دهد. زاویه که جهت V را تعریف می نماید می تواند از ذیل بدست آید.
از این که شیب مسیر نیز برابر با است، می توانیم مشاهده کنیم که v مماس بر مسیر می باشد، نتیجه ای که در فصل قبلی اشاره گردید.
مولفه های مستطیلی (متعامد) a در شکل (c) 2-12 نشان داده می شوند. زاویه که جهت a را تعریف می نماید از ذیل بدست آید.
از این که عموما برابر با نیست، شتاب ضرورتاً مماس یرمسیر نمی باشد.
b. حرکت در امتداد خطی (درامتداد خط مستقیم)
اگر مسیر ذره خط مستقیمی باشد حرکت در امتداد خط مستقیم نامیده می شود. نمونه حرکت در امتداد خط مستقیم که در آن ذره A در امتداد محور x حرکت می‌کند. در شکل 3. 12 نشان داده می شود. در این حالت y=0 را درمعادلات (12-6) و (12.7) قرار می دهیم و r=xi و V=rxi و a=axi را بدست می آوریم. هر یک از این بردارها در امتداد مسیر حرکت جهت می یابند (یعنی حرکت یک بعدی است) از این رو اندیس ها دیگر لازم نمی باشند، معادلات برای حرکت در امتداد خط مستقیم یعنی در امتداد محور x معمولاً به شکل ذیل نوشته می شوند
(12.8)
(12.9)
در بعضی مسائل، بیان کردن شتاب بر حسب سرعت و موقعیت به جای سرعت و زمان مناسب تر می باشد. این تغییر متغیر می تواند با قاعده مشتق گیری زنجیره ای صورت پذیرد:
با ملاحظه این که می توانیم رابطه ذیل را بدست آوریم
مسأله نمونه (1. 12)
موقعیت ذره ای که در امتداد محور x حرکت می کند با تعریف می‌گردد t برحسب ثانیه می باشد. برای فاصله زمانی t=0 تا t=3، (1) موقعیت، سرعت و شتاب را به عنوان توابع زمان رسم نمائید؛ (2) فاصله ای را که طی می گردد را محاسبه کنید (3) جابه جایی ذره را معین کنید.
حل:
قسمت اول:
از این که حرکت بر روی خط راست می باشد شتاب و سرعت به شکل ذیل محاسبه می‌شود .
این توابع را در شکل (c)- (a) بالای فاصله زمانی معین t=0 تا t=3 رسم می نمائیم. توجه نمائید که رسم x سهمی است، بنابراین مشتق گیری های متوالی تابع خطی برای سرعت و مقدار ثابت برای شتاب حاصل می نماید. زمان مطابق، مقدار حداکثر (یا حداقل) x با قرار دادن یا با بکارگیری معادله b پیدا می گردد.V=-6t+12=0 که t=2S را می دهد. با جایی گزینی t=0 معادله (a) ذیل حاصل می گردد.
قسمت 2:
شکل d نشان می دهد که چگونه ذره طی فاصله زمانی t=0 تا t=2 حرکت می نماید. زمانی که t=0 است ذره A(x=-6ft) را ترک می گوید و به راست حرکت می کند. زمانی که t=2 است ذره در B(x=6ft) متوقف می گردد. سپس آن بطرف چپ حرکت می نماید، زمانی که t=3s به نقطه (x=3ft) می رسد بنابراین؛ مسافت طی شده برابر با فاصله ای است که نقطه به طرف راست حرکت می کند بعلاوه فاصله ای که آن به طرف چپ حرکت می نماید که ذیل را می دهند.
قسمت 3:
جابه جایی طی فاصله زمانی t=0 تا t=3 بردار ترسیم شده از موقعیت اولیه نقطه ، (t=3) می باشند. این بردار، نشان داده شده در شکل C به شکل ذیل می باشد.
ملاحظه نمائید که فاصله کلی طی شده (15ft) بزرگتر از مقدار عددی بردار جابه جایی (9 ft) می باشد زیرا جهت طی این فاصله زمانی تغییر می نماید.
مسأله نمونه 2. 12
پیچ در انتهای میله تلسکوپ در شکل (a) در امتداد مسیر سهمی ثابت می‌لغزد که x و y برحسب میلی متر اندازه گیری می شوند. مختصات y نقطه بر طبق با زمان (برحسب ثانیه) تغییر می نماید. زمانی که y=30mm، بردار سرعت p را محاسبه کنید و (z) شتاب بردار p را حساب نمائید.
حل:
قسمت اول:
با جای گذاری
در معادله مسیر و حل برای x، ذیل را بدست می آوریم.
بنابراین مولفه های متعامد (مستطیلی) سرعت عبارت اند از:
با قراردادن در معادله (a) و حل برای t می دهد t=2.090. با جایگزینی این مقدار زمان در معادلات (c)، (d) ذیل بدست می آوریم.
در نتیجه بردار سرعت در y=30mm به شکل زیر می باشد.
نمایش تصویری این نتیجه را شکل زیر و نیز در شکل (b) نشان داده می شود با ارزیابی شیب مسیر در y=30mm تایید کردن این که بردار سرعت مماس شده در فوق در واقع مماس بر مسیر می باشد، آسان است.
قسمت 2:
از معادلات (c) و (d) می توانیم مولفه های مشتق گیری بردار شتاب را معین کنیم.
با جایگزینی t=2.090s بدست می آید.
بنابراین بردار شتاب در y=30mm به شکل زیر می باشد.
نمایش تصویری a به شکل ذیل است.
از ترسیم بردار شتاب در شکل (b) ملاحظه می کنیم که جهت مماس با مسیر نمی باشد.
مسأله نمونه 3. 12
مختصات های متعامد توصیف کننده حرکت فضائی نقطه ای عبارت اند از:
که R و w ثابت هستند (1)با محاسبه مقدارعددی بردار موقعیتr بر روی کره به شعاع R و به مرکز مبداسیستم مختصات قرار می گیرد ، (2) مولفه های مسطتیل را معین سازید و مقادیر عددی بردارهای سرعت و شتاب را تعیین نمایئد .
راه حل
قسمت (1) :
مقدار عددی بردار موقعیت می تواند با استفاده از محاسبه گردد .با جایگزینی در عبارات برای مختصات های متعامد بدست خواهیم اورد.
با استفاده از فرمول های
خواهیم داشت:
از این که مقدار عددی بردار موقعیت برابر با R ثابت است، میسر بر روی کره با این شعاع و بر مرکز مبدأ سیستم قرار میگیرد .مولفه هایv می تواند با مشتق گیری عبارات داده شده برای مختصات های مستطیلی (متعامد) پیدا شوند.
بنابراین:
در واقع مقدار عدد (بزرگی) بدست می آید.
مولفه های بردار شتاب عبارتند از :
که از آن ها
بنابراین مقدار a به شکل زیر است:
مسأله نمونه 4-12
بادامک دایروی شکل به شعاع R=16mm در o می چرخد. بنابراین خروج از مرکز را ایجاد می نماید. با استفاده از شکل هندسی، می توان نشان داد که رابطه بین x، مختصات موقعیت پیگیر A و زاویه به شکل زیر می باشد.
فرمت این مقاله به صورت Word و با قابلیت ویرایش میباشد
تعداد صفحات این مقاله 21 صفحه
پس از پرداخت ، میتوانید مقاله را به صورت انلاین دانلود کنید
دانلودمقاله دینامیک و ارتعاشات
