مقاله کاربرد تبدیل لاپلاس در تحلیل مدار و انتگرال کانولوشن

اختصاصی از حامی فایل مقاله کاربرد تبدیل لاپلاس در تحلیل مدار و انتگرال کانولوشن دانلود با لینک مستقیم و پر سرعت .

این محصول در قالب ورد و قابل ویرایش در 65 صفحه می باشد.

 فهرست

کاربرد تبدیل لاپالس در تحلیل مدار  ۱
۱۶-۱- مقدمه  ۱
۱۶-۲- عناصر مدار در حوزة s  ۲
۱۶-۳- تحلیل مدار در حوزة s  ۹
۱۶-۴ چند مثال تشریحی  ۱۰
۱۶-۵ تابع ضربه در تحلیل مدار  ۲۸
۱۶-۶ خلاصه  ۴۶
۱۷-۵- تابع تبدیل و انتگرال کانولوشن  ۴۸
مراجع  ۶۴

کاربرد تبدیل لاپالس در تحلیل مدار

۱-۱- مقدمه

تبدیل لاپالس دو ویژگی دارد که آن را به ابزاری جالب توجه در تحلیل مدارها تبدیل کرده است. نخست به کمک آن می توان مجموعه ای از معادلات دیفرانسیلی خطی با ضرایب ثابت را به معادلات چند جمله ای خطی تبدیل کرد. دوم، در این تبدیل مقادیر اولیة متغیرهای جریان و ولتاژ خود به خود وارد معادلات چند جمله ای می شوند. بنابراین شرایط اولیه جزء لاینفک فرایند تبدیل اند. اما در روشهای کلاسیک حل معادلات دیفرانسیل شرایط اولیه زمانی وارد می شوند که می خواهیم ضرایب مجهول را محاسبه کنیم.

هدف ما در این فصل ایجاد روشی منظم برای یافتن رفتار گذرای مدارها به کمک تبدیل لاپلاس است. روش پنج مرحله ای بر شمرده شده در بخش ۱۵-۷ اساس این بحث است. اولین گام در استفاده موثر از روش تبدیل لاپلاس از بین بردن ضرورت نوشتن معادلات انتگرالی –دیفرانسیلی توصیف کنندة مدار است. برای این منظور باید مدار هم از مدار را در حوزةs به دست آوریم. این امر به ما امکان می دهد که مداری بسازیم که مستقیماً در حوزة تحلیل شود بعد از فرمولبندی مدار در حوزة sمی توان از روشهای تحلیلی بدست آمده (نظیر روشهای ولتاژ گره، جریان خانه و ساده سازی مدار) استفاده کرد و معادلات جبری توصیف کنندة مدار را نوشت. از حل این معادلات جبری، جریانها و ولتاژهای مجهول به صورت توابعی گویا به دست می آیند که تبدیل عکس آنها را به کمک تجزیه به کسرهای ساده به دست می اوریم. سرانجام روابط حوزه زمانی را می آزماییم تا مطمئن شویم که جوابهای به دست امده با شرایط اولیة مفروض و مقادیر نهایی معلوم سازگارند.

در بخش ۱۶-۲- هم از عناصر را در حوزة s به دست می آوریم. در شروع تحلیل مدارهای حوزة s باید دانست که بعد ولتاژ تبدیل شده ولت ثانیه و بعد جریان تبدیل شده آمپر ثانیه است. بعد نسبت ولتاژ به جریان در حوزة s ولت بر آمپر است و بنابراین در حوزة s یکای پاگیرایی ( امپدانس) اهم و یکای گذارایی ( ادمیتانس) زیمنس یا مو است.

۱-۲- عناصر مدار در حوزة s

روش به دست آوردن مدار هم از عناصر مدار در حوزة s ساده است. نخست رابطة ولتاژ و جریان عنصر در پایانه هایش را در حوزه زمان می نویسم. سپس از این معادله تبدیل لاپلاس می گیریم به این طریق رابطة جبری میان ولتاژ و جریان در حوزة s به دست می آید. سرانجام مدلی می سازیم که رابطة میان جریان و ولتاژ در حوزة s را برآورد سازد. در تمام این مراحل قرارداد علامت منفی را به کار می بریم.

نخست از مقاومت شروع میکنیم، بنا به قانون اهم داریم

بنا به معادلة (۱۶-۲) مدار هم ارز یک مقاومت در حوزة s مقاومتی برابر R اهم است که جریان آن Iآمپر – ثانیه و ولتاژ آن V ولت –ثانیه است.

مدارهای مقاومت در حوزة زمان و حوزه بسامد در شکل ۱۶-۱ دیده می شود به یاد داشته باشید که در تبدیل مقاومت از حوزة زمان به حوزة بسامد تغییری در آن ایجاد نمی شود.

القاگری با جریان اولیة I_o در شکل ۱۶-۲ آمده است. معادلة ولتاژ و جریان آن در حوزة زمان چنین است.

به کمک دو مدار مختلف می توان معادلة (۱۶-۴) را تحقق بخشید. مدار هم از اول مداری است متشکل از یک امپدانس sL اهمی که با یک منبع ولتاژ مستقل _‎LI_o ولت ثانیه ای متوالی است. این مدار در شکل ۱۶-۳۳ دیده می شود در بررسی مدار هم ارز حوزة بسامدی شکل ۱۶-۳ توجه کنید که جهت ولتاژ منبع LI_o بر مبنای علامت منفی مجود در معادله (۱۶-۴) است توجه به این نکته نیز اهمیت دارد که I_o علامت جبری مخصوص به خود را دارد. یعنی چنانچه مقدار اولیة I خلاف جهت مبنای I باشد آنگاه I_o مقدار منفی دارد.

مدار هم از دیگری که معادله (۱۶-۴) را برآورده، می سازد متشکل است از یک امپدانس

SL اهمی که با یک منبع جریان مستقل I_o/s آمپر ثانیه ای موازی است. این مدار هم ارز در شکل ۱۶-۴ آمده است.

برای به دست آوردن مدار هم از شکل ۱۶-۴ راههای مختلفی موجود است. یکی از این راهها حل معادلة (۱۶-۴) نسبت به جریان I و ساخت مداری بر حسب معادلة به دست آمده بنابراین

(۱۶-۵)

به سادگی مشاهده می شود که مدار شکل ۱۶-۴ معادلة (۱۶-۵) را برآورده می سازد دو راه دیگر به دست آوردن مدار شکل ۱۶-۴ عبارت اند از (۱) به دست اوردن هم از نور تن مدار شکل (۱۶-۳، (۲) به دست آوردن  جریان القا گر بر حسب ولتاژ آن و گرفتن تبدیل لاپلاس از معادلة به دست آمده این دو روش به صورت تمرین در مسائل ۱۶-۱ و ۱۶-۲ به خواننده واگذار می شود.

قابل توجه است که هرگاه انرژی اولیة ذخیره شده در القا گر صفر باشد یعنی اگر I_o=o مدار هم ارز القا گر در حوزة بسامد به صورت القا گری با امپدانس sL اهم در می آید. این مدار در شکل ۱۶-۵ آمده است.

برای خازنهای با بار اولیه نیز دو مدار هم ارز در حوزة s وجود دارد. خازنی که با بار اولیة V_o ولت در شکل ۱۶-۶ دیده می شود. جریان خازن چنین است.

                            I=sCV-CV_o

از معادله فوق دیده می شود که جریان I در حوزة بسامد از دو جریان شاخه ای تشکیل می شود یکی از شاخه ها از یک گذارایی به مقدار sc مو و دیگری از یک منبع جریان مستقل CV_o آمپر ثانیه ای تشکیل  می شود. این مدار هم ارز در شکل ۱۶-۷۷ آمده است.

از حل معادلة (۱۶-۷) نسبت به V می توان مدار هم ارز متوالی خازن باردار را به دست آورد. بنابراین داریم

(۱۶-۸)

مداری که در شکل ۱۶-۸ آمده است تحقق معادلة (۱۶-۸) است.

در مدارهای هم ارز شکلهای ۱۶-۷ و ۱۶-۸، علامت جبری خود را دارد. یعنی اگر جهت  خلاف جهت مبنای  باشد  مقداری منفی خواهد بود. اگر ولتاژ اولیه خازن صفر باشد مدارهای هم ارز ساده می شوند و تنها امپدانس sc/1 اهمی باقی می ماند که در شکل ۱۶-۹ آمده است.

مدارهای حوزه بسامدی به دست آمده در این بخش در جدول ۱۶-۱ آمده اند. کاربرد این مدارها در بخش ۱۶-۴ نشان داده خواهد شد.

 ۱۶-۳- تحلیل مدار در حوزة s

پیش از بررسی مدارها در حوزة s به ذکر چند نکته می پردازیم که اساس تمام کارهای بعدی ماست.

نخست میدانیم که چنانچه در القا گر و خازنها انرژی اولیه نداشته باشیم رابطة ولتاژ و جریان آنها چنین است.

(۱۶-۹)                                      V=ZI

که در آن Z امپدانس (پاگیرایی) عنصر در حوزة s است. به این ترتیب امپدانس مقاومت R اهم، امپدانس القا گر sL اهم، و امپدانس خازن sC/1 اهم است. نکته ای که در معادلة (۱۶-۹) آمده است، در شکلهای ۱۶-۱(ب)، ۱۶-۵، و ۱۶-۹ مشخص شده است. گاه معادلة (۱۶-۹) را قانون اهم در حوزة s می نامند.

عکس پاگیرایی، گذارایی، گذاراییها در حوزة s دقیقاً همان قواعد ترکیب آنها در حوزة فازبرداری است. در تحلیل  حوزة بسامدی می توان از ساده کردنهای متوالی و موازی و تبدیلهای ستاره – مثلث استفاده کرد.

نکتة مهم دیگر این است که قوانین کبرشهف را می توان برای جریانها و ولتاژهای حوزة s به کار برد. دلیل این امراین است  که بنا به خواص تبدیل عملیات، تبدیل لاپلاس مجموع چند تابع در حوزة زمان برابر مجموع تبدیل لاپلاسهای یکایک توابع است( جدول ۱۵-۲ را ببینید) بنابراین از آنجا که جمع جبری جریانها در یک گروه در حوزة زمان صفر است، جمع جبری جریانهای تبدیل شده نیز صفر خواهد بود. همچنین جمع جبری ولتاژهای تبدیل شده حول مسیری بسته صفر است. قوانین کیرشهف در حوزة s چنین اند.

(۱۶-۱۰)                           ها ) جبری

(۱۶-۱۱)                           V)=o ها) جبری

نکتة سوم مبتنی بر درک مفاهیم نهفته در دو نکتة اول است. ازآنجا که ولتاژ  و جریان در پایانه های عناصر غیر فعال به وسیلة معادلاتی جبری به هم مربوط می شوند و قانون کیرشهف همچنان برقرار است، پس کلیة روشهای تحلیل شبکه های مقاومتی را میتوان در تحلیل مدارها در حوزة بسامد به کار برد. بنابراین حتی اگر در القا گرها و خازنها انرژی اولیة ذخیره شده باشد روشهای ولتاژ گره، جریان خانه، تبدیل منابع، هم ارزهای تونن- نورتن و روشهای معتبری هستند. چنانچه در مدار انرژی اولیه ذخیره شده باشد باید معادلة (۱۶-۹) را تغییر داد این تغییر بسیار ساده است و کافی است به کمک قوانین کیرشهف منابع مستقل لازم را با امپدانس عناصر موازی یا متوالی کرد.

مقاله درباره کاربرد تبدیل لاپلاس در تحلیل مدار و انتگرال کانولوشن

اختصاصی از حامی فایل مقاله درباره کاربرد تبدیل لاپلاس در تحلیل مدار و انتگرال کانولوشن دانلود با لینک مستقیم و پر سرعت .

لینک پرداخت و دانلود در "پایین مطلب"

 فرمت فایل: word (قابل ویرایش و آماده پرینت)

 تعداد صفحات:61

فهرست مطالب

عنوان                                  صفحه

کاربرد تبدیل لاپالس در تحلیل مدار...... 1

16-1- مقدمه........................... 1

16-2- عناصر مدار در حوزة s............. 2

16-3- تحلیل مدار در حوزة s............. 9

16-4 چند مثال تشریحی.................. 10

16-5 تابع ضربه در تحلیل مدار.......... 28

16-6 خلاصه............................. 46

17-5- تابع تبدیل و انتگرال کانولوشن... 48

 مراجع.............................................................................................................

کاربرد تبدیل لاپالس در تحلیل مدار

16-1- مقدمه

تبدیل لاپالس دو ویژگی دارد که آن را به ابزاری جالب توجه در تحلیل مدارها تبدیل کرده است. نخست به کمک آن می توان مجموعه ای از معادلات دیفرانسیلی خطی با ضرایب ثابت را به معادلات چند جمله ای خطی تبدیل کرد. دوم، در این تبدیل مقادیر اولیة متغیرهای جریان و ولتاژ خود به خود وارد معادلات چند جمله ای می شوند. بنابراین شرایط اولیه جزء لاینفک فرایند تبدیل اند. اما در روشهای کلاسیک حل معادلات دیفرانسیل شرایط اولیه زمانی وارد می شوند که می خواهیم ضرایب مجهول را محاسبه کنیم.

هدف ما در این فصل ایجاد روشی منظم برای یافتن رفتار گذرای مدارها به کمک تبدیل لاپلاس است. روش پنج مرحله ای بر شمرده شده در بخش 15-7 اساس این بحث است. اولین گام در استفاده موثر از روش تبدیل لاپلاس از بین بردن ضرورت نوشتن معادلات انتگرالی –دیفرانسیلی توصیف کنندة مدار است. برای این منظور باید مدار هم از مدار را در حوزةs به دست آوریم. این امر به ما امکان می دهد که مداری بسازیم که مستقیماً در حوزة تحلیل شود بعد از فرمولبندی مدار در حوزة sمی توان از روشهای تحلیلی بدست آمده (نظیر روشهای ولتاژ گره، جریان خانه و ساده سازی مدار) استفاده کرد و معادلات جبری توصیف کنندة مدار را نوشت. از حل این معادلات جبری، جریانها و ولتاژهای مجهول به صورت توابعی گویا به دست می آیند که تبدیل عکس آنها را به کمک تجزیه به کسرهای ساده به دست می اوریم. سرانجام روابط حوزه زمانی را می آزماییم تا مطمئن شویم که جوابهای به دست امده با شرایط اولیة مفروض و مقادیر نهایی معلوم سازگارند.

در بخش 16-2- هم از عناصر را در حوزة s به دست می آوریم. در شروع تحلیل مدارهای حوزة s باید دانست که بعد ولتاژ تبدیل شده ولت ثانیه و بعد جریان تبدیل شده آمپر ثانیه است. بعد نسبت ولتاژ به جریان در حوزة s ولت بر آمپر است و بنابراین در حوزة s یکای پاگیرایی ( امپدانس) اهم و یکای گذارایی ( ادمیتانس) زیمنس یا مو است.

16-2- عناصر مدار در حوزة s

روش به دست آوردن مدار هم از عناصر مدار در حوزة s ساده است. نخست رابطة ولتاژ و جریان عنصر در پایانه هایش را در حوزه زمان می نویسم. سپس از این معادله تبدیل لاپلاس می گیریم به این طریق رابطة جبری میان ولتاژ و جریان در حوزة s به دست می آید. سرانجام مدلی می سازیم که رابطة میان جریان و ولتاژ در حوزة s را برآورد سازد. در تمام این مراحل قرارداد علامت منفی را به کار می بریم.

نخست از مقاومت شروع میکنیم، بنا به قانون اهم داریم

پی یر سیمون

اختصاصی از حامی فایل پی یر سیمون دانلود با لینک مستقیم و پر سرعت .

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

فرمت فایل word  و قابل ویرایش و پرینت

تعداد صفحات: 5

پی یر سیمون لاپلاس   1749 - 1827  ریاضیدان  و منجم و فیزیکدان فرانسوی نظریه جاذبه نیوتون را در موردمنظومه شمسی بکار برد. شهرت او بیشتر بخاطر  تبدیل لاپلاس در کنترل فرآیندها و کاربردهای مهندسی  مانند برق و الکترونیک و مکانیک  است   تبدیلات منحصر به تبدیل لاپلاس نیست بلکه از تبدیلات دیگری نیز استفاده می شود که برخی از آنها بدین شرح است:

Abel Transform, Z-transform, Merril Transform, Borel Transform, Fourier Transform, Logarithm Transform, Laplace Transform, Mellin Transform, Radon Transform, Sumudu Transform,

 در ریاضی ، مقصود از تبدیل عبارت یا تابع آنست که  یک اپراتور بر آن اثر گذارد  و آنرا به شکلی در آورد که عملیات  مورد نظر به آسانی  ممکن باشد و  آسانتر از عملیات با خود تابع باشد. معمولا تبدیلات برگشت پذیر است و می توان نتیجه عملیات را به  شکل نخستین تابع برگرداند.

در شکل روبرو منحنی آبی رنگ پدیده ای را نشان می دهد که در امتداد محور زمان  تموج دارد ولی اگر با تبدیل فوریه آنرا تجزیه کنیم می بینیم از جمع سه موج ساده سینوسی با فرکانس های 1 و 2 و 3 تشکیل شده است. هنگامی که  پدیده را در امتداد محور زمان می سنجیم اصطلاحا گفته می شود که در قلمرو زمان Time Domain هستیم و وقتی  همان پدیده را در امتدادمحور فرکانس بنگریم اصطلاحا گفته می شود که در قلمرو فرکانس Frequency Domain هستیم   تبدیل لاپلاس بر این اندیشه استوار است که برای حل یک معادله ، یا دستگاهی از معادلات، که شامل دیفرانسیل و انتگرال باشد آن معادله را از یک  قلمرو به قلمرو دیگری تبدیل کنیم تا عملیاتمان آسانتر شود و در پایان عملیات، جواب را به فضا یا قلمرو اولیه برگردانیم. 

نمونه  تبدیلات  آسان کننده  تبدیل لگاریتم است که محاسبات را یک درجه ساده تر می کند: یعنی ضرب وتقسیم  را به جمع و تفریق و  محاسبه توان و ریشه را  به ضرب و تقسیم تبدیل می  کند:. در جدول زیر به لگاریتم نظری می اندازیم و بعد به تبدیل لاپلاس باز می گردیم.

از هزاران سال پیش تا چهارصد سال قبل، زمانی که هنوز ماشین حساب و کامپیوتر وجود نداشت، محاسبه کاری پرزحمت و دشوار بود.   روش محاسبه جذر و کعب اعداد را همگان  نمی دانستند . حدود 400 سال پیش ، جدول لگاریتم ابداع شد تا  محاسبه ریشه  اعداد  به عمل ساده تر تقسیم تبدیل شود و محاسبه   توانهای اعشاری اعداد به  عمل ساده تر ضرب تبدیل شود و نیز، عملیات تقسیم و ضرب به تفریق و جمع تبدیل شود.  روش لگاریتم، که یک شاهکار خلاقیت ذهن بشر است بقدری در پیشرفت علوم و فنون موثر بوده که آنرا با اختراع دستگاه چاپ همطراز میشمارند.   اصل موضوع بسیار ساده است.  مثلا همه می دانند که  5 به توان 2 می شود 25 ولی شاید ندانند که لگاریتم 25 در پایه 5 می شود 2بعبارتی دیگر،  به توان رساندن  و لگاریتم ارتباط دارند:                                                                                    عمل توان می گوید  اگر عددپایه  بدفعات در خودش ضرب شود حاصل کار چه خواهد بود؟ و                                                                                   عمل لگاریتم  می گوید که عدد پایه چنددفعه در خودش  ضرب شود تا حاصل کار بدست آید؟.  و باز به عبارتی دیگر،                        لگاریتم یک عدد  در پایه  10 :    وقتی می گوئیم Log 1000 مقصود عددی است که 10 به توان آن برابر با 1000 شود.  لذا،                                        Log 1000=3لگاریتم یک عدد  در پایه  e :     وقتی می گوئیم    ln 1000 مقصود عددی است که e   به توان آن برابر با 1000 شود و 2.71828  =  e  . لذا،   6.90775 =  ln 1000

و با  این لگاریتم، از جدول عدد 0.499999 بدست می آید که تقریباهمان 5 است

روابط لگاریتمی

مثال عددی: میخواهیم  با استفاده از روابط لگاریتمی،  مقدار عبارت زیر را حساب کنیم

(که البته جواب آن 5 است)

در 1614 میلادی یک اسکاتلندی بنام جان نپرJohn Napier  بر اساس فکر یک ساعت ساز سویسی بنام  ژوست بورگی جدول لگاریتم را ساخت. از آن جدول می توانیم

لگاریتم  هر عدد  و  عدد هر لگاریتم را بدست آوریم.

تبدیل لاپلاس

مقدمه : می دانیم که  منحنی  تابع y = x  یک خط راست با زاویه 45 درجه است که از مرکز می گذرد ومنحنی  تابع    یک سهمی است و منحنی  سینوس به شکل یک موج متناوب است. ولی  در محدوده 0 تا  بینهایت،  انتگرال آنها (یا بعبارتی دیگر مساحت زیر منحنی)  به سوی یک حد معین میل نمی کند

حال اگراین تابع کاهنده  در تابع های فوق الذکر ضرب شود، آنها را هم می کاهد و به شکلی در می آورد که درتصویر روبرو می بینیم و انتگرال آنها در محدوده 0 تا  بینهایت به سوی حد معینی میل می کند.

در تبدیل لاپلاس،  آن تابع کاهنده  را در تابع ضرب می کنیم تا  در محدوده 0 تا  بینهایت،  انتگرالش به سوی حد معینی میل کند . 

مثلا اگر تابع ما باشد،  تبدیل لاپلاس آن این است:

و اگر تابع ما باشد،  آنگاه تبدیل لاپلاس آن  (با استفاده از فرمول حاصله در سطر قبل برای  )  چنین خواهد  بود:

و اگر تابع ما  y(t)=cos t باشد  آنگاه تبدیل لاپلاس آن چنین خواهد بود:

در اینجا جدول تبدیل لاپلاس برای برخی از تابع ها دیده می شود.  با استفاده از این جدول می توان تابع را تبدیل کرد و نیز بعد از عملیات، با داشتن شکل تبدیل شده، تابع را بدست آورد.

دانلود مقاله کاربرد تبدیل لاپلاس در تحلیل مدار و انتگرال کانولوشن

اختصاصی از حامی فایل دانلود مقاله کاربرد تبدیل لاپلاس در تحلیل مدار و انتگرال کانولوشن دانلود با لینک مستقیم و پر سرعت .

کاربرد تبدیل لاپالس در تحلیل مدار

16-1- مقدمه

تبدیل لاپالس دو ویژگی دارد که آن را به ابزاری جالب توجه در تحلیل مدارها تبدیل کرده است. نخست به کمک آن می توان مجموعه ای از معادلات دیفرانسیلی خطی با ضرایب ثابت را به معادلات چند جمله ای خطی تبدیل کرد. دوم، در این تبدیل مقادیر اولیة متغیرهای جریان و ولتاژ خود به خود وارد معادلات چند جمله ای می شوند. بنابراین شرایط اولیه جزء لاینفک فرایند تبدیل اند. اما در روشهای کلاسیک حل معادلات دیفرانسیل شرایط اولیه زمانی وارد می شوند که می خواهیم ضرایب مجهول را محاسبه کنیم.

هدف ما در این فصل ایجاد روشی منظم برای یافتن رفتار گذرای مدارها به کمک تبدیل لاپلاس است. روش پنج مرحله ای بر شمرده شده در بخش 15-7 اساس این بحث است. اولین گام در استفاده موثر از روش تبدیل لاپلاس از بین بردن ضرورت نوشتن معادلات انتگرالی –دیفرانسیلی توصیف کنندة مدار است. برای این منظور باید مدار هم از مدار را در حوزةs به دست آوریم. این امر به ما امکان می دهد که مداری بسازیم که مستقیماً در حوزة تحلیل شود بعد از فرمولبندی مدار در حوزة sمی توان از روشهای تحلیلی بدست آمده (نظیر روشهای ولتاژ گره، جریان خانه و ساده سازی مدار) استفاده کرد و معادلات جبری توصیف کنندة مدار را نوشت. از حل این معادلات جبری، جریانها و ولتاژهای مجهول به صورت توابعی گویا به دست می آیند که تبدیل عکس آنها را به کمک تجزیه به کسرهای ساده به دست می اوریم. سرانجام روابط حوزه زمانی را می آزماییم تا مطمئن شویم که جوابهای به دست امده با شرایط اولیة مفروض و مقادیر نهایی معلوم سازگارند.

در بخش 16-2- هم از عناصر را در حوزة s به دست می آوریم. در شروع تحلیل مدارهای حوزة s باید دانست که بعد ولتاژ تبدیل شده ولت ثانیه و بعد جریان تبدیل شده آمپر ثانیه است. بعد نسبت ولتاژ به جریان در حوزة s ولت بر آمپر است و بنابراین در حوزة s یکای پاگیرایی ( امپدانس) اهم و یکای گذارایی ( ادمیتانس) زیمنس یا مو است.

16-2- عناصر مدار در حوزة s

روش به دست آوردن مدار هم از عناصر مدار در حوزة s ساده است. نخست رابطة ولتاژ و جریان عنصر در پایانه هایش را در حوزه زمان می نویسم. سپس از این معادله تبدیل لاپلاس می گیریم به این طریق رابطة جبری میان ولتاژ و جریان در حوزة s به دست می آید. سرانجام مدلی می سازیم که رابطة میان جریان و ولتاژ در حوزة s را برآورد سازد. در تمام این مراحل قرارداد علامت منفی را به کار می بریم.

نخست از مقاومت شروع میکنیم، بنا به قانون اهم داریم

(16-1)                              

از آنجا که R ثابت است، تبدیل لاپلاس معادلة (16-1) چنین است .

(16-2)                           V=RI

که در آن

بنا به معادلة (16-2) مدار هم ارز یک مقاومت در حوزة s مقاومتی برابر R اهم است که جریان آن Iآمپر – ثانیه و ولتاژ آن V ولت –ثانیه است.

مدارهای مقاومت در حوزة زمان و حوزه بسامد در شکل 16-1 دیده می شود به یاد داشته باشید که در تبدیل مقاومت از حوزة زمان به حوزة بسامد تغییری در آن ایجاد نمی شود.

القاگری با جریان اولیة Io در شکل 16-2 آمده است. معادلة ولتاژ و جریان آن در حوزة زمان چنین است.

شکل 16-1- مقاومت در الف) حوزة زمان ،ب) حوزة بسامد.

شکل 16-2- القا گر L هانری با جریان اولیه Io آمپر.

در حوزة زمان چنین است

(16-3)                   

پس از تبدیل لاپلاس گرفتن از معادلة (16-3) داریم

(16-4)                   

به کمک دو مدار مختلف می توان معادلة (16-4) را تحقق بخشید. مدار هم از اول مداری است متشکل از یک امپدانس sL اهمی که با یک منبع ولتاژ مستقل ‎LIo ولت ثانیه ای متوالی است. این مدار در شکل 16-3 دیده می شود در بررسی مدار هم ارز حوزة بسامدی شکل 16-3 توجه کنید که جهت ولتاژ منبع LIo بر مبنای علامت منفی مجود در معادله (16-4) است توجه به این نکته نیز اهمیت دارد که Io علامت جبری مخصوص به خود را دارد. یعنی چنانچه مقدار اولیة I خلاف جهت مبنای I باشد آنگاه Io مقدار منفی دارد.

مدار هم از دیگری که معادله (16-4) را برآورده، می سازد متشکل است از یک امپدانس

SL اهمی که با یک منبع جریان مستقل Io/s آمپر ثانیه ای موازی است. این مدار هم ارز در شکل 16-4 آمده است.

برای به دست آوردن مدار هم از شکل 16-4 راههای مختلفی موجود است. یکی از این راهها حل معادلة (16-4) نسبت به جریان I و ساخت مداری بر حسب معادلة به دست آمده بنابراین

(16-5)               

به سادگی مشاهده می شود که مدار شکل 16-4 معادلة (16-5) را برآورده می سازد دو راه دیگر به دست آوردن مدار شکل 16-4 عبارت اند از (1) به دست اوردن هم از نور تن مدار شکل (16-3، (2) به دست آوردن  جریان القا گر بر حسب ولتاژ آن و گرفتن تبدیل لاپلاس از معادلة به دست آمده این دو روش به صورت تمرین در مسائل 16-1 و 16-2 به خواننده واگذار می شود.

قابل توجه است که هرگاه انرژی اولیة ذخیره شده در القا گر صفر باشد یعنی اگر Io=o مدار هم ارز القا گر در حوزة بسامد به صورت القا گری با امپدانس sL اهم در می آید. این مدار در شکل 16-5 آمده است.

برای خازنهای با بار اولیه نیز دو مدار هم ارز در حوزة s وجود دارد. خازنی که با بار اولیة Vo ولت در شکل 16-6 دیده می شود. جریان خازن چنین است.

شکل 16-5 مدار خوزة بسامدی القاگری با جریان اولیه صفر.

 ...

شکل 16-6- خازنی C فارادی که تاVo ولت بار دار شده است.

(16-6)                   

پس از تبدیل معادلة (16-6) داریم

یا

(16-7)                    I=sCV-CVo

از معادله فوق دیده می شود که جریان I در حوزة بسامد از دو جریان شاخه ای تشکیل می شود یکی از شاخه ها از یک گذارایی به مقدار sc مو و دیگری از یک منبع جریان مستقل CVo آمپر ثانیه ای تشکیل  می شود. این مدار هم ارز در شکل 16-7 آمده است.

از حل معادلة (16-7) نسبت به V می توان مدار هم ارز متوالی خازن باردار را به دست آورد. بنابراین داریم

(16-8)                   

مداری که در شکل 16-8 آمده است تحقق معادلة (16-8) است.

در مدارهای هم ارز شکلهای 16-7 و 16-8، علامت جبری خود را دارد. یعنی اگر جهت  خلاف جهت مبنای  باشد  مقداری منفی خواهد بود. اگر ولتاژ اولیه خازن صفر باشد مدارهای هم ارز ساده می شوند و تنها امپدانس sc/1 اهمی باقی می ماند که در شکل 16-9 آمده است.

مدارهای حوزه بسامدی به دست آمده در این بخش در جدول 16-1 آمده اند. کاربرد این مدارها در بخش 16-4 نشان داده خواهد شد.

جدول 1016 مدارهای هم ارز در حوزة s

شکل 16-9 مدار حوزة بسامدی خازنی با ولتاژ اولیة صفر

16-3- تحلیل مدار در حوزة s

پیش از بررسی مدارها در حوزة s به ذکر چند نکته می پردازیم که اساس تمام کارهای بعدی ماست.

نخست میدانیم که چنانچه در القا گر و خازنها انرژی اولیه نداشته باشیم رابطة ولتاژ و جریان آنها چنین است.

(16-9)            V=ZI

که در آن Z امپدانس (پاگیرایی) عنصر در حوزة s است. به این ترتیب امپدانس مقاومت R اهم، امپدانس القا گر sL اهم، و امپدانس خازن sC/1 اهم است. نکته ای که در معادلة (16-9) آمده است، در شکلهای 16-1(ب)، 16-5، و 16-9 مشخص شده است. گاه معادلة (16-9) را قانون اهم در حوزة s می نامند.

عکس پاگیرایی، گذارایی، گذاراییها در حوزة s دقیقاً همان قواعد ترکیب آنها در حوزة فازبرداری است. در تحلیل  حوزة بسامدی می توان از ساده کردنهای متوالی و موازی و تبدیلهای ستاره – مثلث استفاده کرد.

نکتة مهم دیگر این است که قوانین کبرشهف را می توان برای جریانها و ولتاژهای حوزة s به کار برد. دلیل این امراین است  که بنا به خواص تبدیل عملیات، تبدیل لاپلاس مجموع چند تابع در حوزة زمان برابر مجموع تبدیل لاپلاسهای یکایک توابع است( جدول 15-2 را ببینید) بنابراین از آنجا که جمع جبری جریانها در یک گروه در حوزة زمان صفر است، جمع جبری جریانهای تبدیل شده نیز صفر خواهد بود. همچنین جمع جبری ولتاژهای تبدیل شده حول مسیری بسته صفر است. قوانین کیرشهف در حوزة s چنین اند.

...

فهرست مطالب

عنوان                                  صفحه

کاربرد تبدیل لاپالس در تحلیل مدار....... 1

16-1- مقدمه........................... 1

16-2- عناصر مدار در حوزة s............. 2

16-3- تحلیل مدار در حوزة s.............. 9

16-4 چند مثال تشریحی................... 10

16-5 تابع ضربه در تحلیل مدار........... 28

16-6 خلاصه............................. 46

17-5- تابع تبدیل و انتگرال کانولوشن... 48

 مراجع........................................... 64

...

62 ص فایل Word

دانلود مقاله کاربرد تبدیل لاپلاس در تحلیل مدار و انتگرال کانولوشن

اختصاصی از حامی فایل دانلود مقاله کاربرد تبدیل لاپلاس در تحلیل مدار و انتگرال کانولوشن دانلود با لینک مستقیم و پر سرعت .

کاربرد تبدیل لاپالس در تحلیل مدار

16-1- مقدمه

تبدیل لاپالس دو ویژگی دارد که آن را به ابزاری جالب توجه در تحلیل مدارها تبدیل کرده است. نخست به کمک آن می توان مجموعه ای از معادلات دیفرانسیلی خطی با ضرایب ثابت را به معادلات چند جمله ای خطی تبدیل کرد. دوم، در این تبدیل مقادیر اولیة متغیرهای جریان و ولتاژ خود به خود وارد معادلات چند جمله ای می شوند. بنابراین شرایط اولیه جزء لاینفک فرایند تبدیل اند. اما در روشهای کلاسیک حل معادلات دیفرانسیل شرایط اولیه زمانی وارد می شوند که می خواهیم ضرایب مجهول را محاسبه کنیم.

هدف ما در این فصل ایجاد روشی منظم برای یافتن رفتار گذرای مدارها به کمک تبدیل لاپلاس است. روش پنج مرحله ای بر شمرده شده در بخش 15-7 اساس این بحث است. اولین گام در استفاده موثر از روش تبدیل لاپلاس از بین بردن ضرورت نوشتن معادلات انتگرالی –دیفرانسیلی توصیف کنندة مدار است. برای این منظور باید مدار هم از مدار را در حوزةs به دست آوریم. این امر به ما امکان می دهد که مداری بسازیم که مستقیماً در حوزة تحلیل شود بعد از فرمولبندی مدار در حوزة sمی توان از روشهای تحلیلی بدست آمده (نظیر روشهای ولتاژ گره، جریان خانه و ساده سازی مدار) استفاده کرد و معادلات جبری توصیف کنندة مدار را نوشت. از حل این معادلات جبری، جریانها و ولتاژهای مجهول به صورت توابعی گویا به دست می آیند که تبدیل عکس آنها را به کمک تجزیه به کسرهای ساده به دست می اوریم. سرانجام روابط حوزه زمانی را می آزماییم تا مطمئن شویم که جوابهای به دست امده با شرایط اولیة مفروض و مقادیر نهایی معلوم سازگارند.

در بخش 16-2- هم از عناصر را در حوزة s به دست می آوریم. در شروع تحلیل مدارهای حوزة s باید دانست که بعد ولتاژ تبدیل شده ولت ثانیه و بعد جریان تبدیل شده آمپر ثانیه است. بعد نسبت ولتاژ به جریان در حوزة s ولت بر آمپر است و بنابراین در حوزة s یکای پاگیرایی ( امپدانس) اهم و یکای گذارایی ( ادمیتانس) زیمنس یا مو است.

16-2- عناصر مدار در حوزة s

روش به دست آوردن مدار هم از عناصر مدار در حوزة s ساده است. نخست رابطة ولتاژ و جریان عنصر در پایانه هایش را در حوزه زمان می نویسم. سپس از این معادله تبدیل لاپلاس می گیریم به این طریق رابطة جبری میان ولتاژ و جریان در حوزة s به دست می آید. سرانجام مدلی می سازیم که رابطة میان جریان و ولتاژ در حوزة s را برآورد سازد. در تمام این مراحل قرارداد علامت منفی را به کار می بریم.

نخست از مقاومت شروع میکنیم، بنا به قانون اهم داریم

(16-1)                              

از آنجا که R ثابت است، تبدیل لاپلاس معادلة (16-1) چنین است .

(16-2)                           V=RI

که در آن

بنا به معادلة (16-2) مدار هم ارز یک مقاومت در حوزة s مقاومتی برابر R اهم است که جریان آن Iآمپر – ثانیه و ولتاژ آن V ولت –ثانیه است.

مدارهای مقاومت در حوزة زمان و حوزه بسامد در شکل 16-1 دیده می شود به یاد داشته باشید که در تبدیل مقاومت از حوزة زمان به حوزة بسامد تغییری در آن ایجاد نمی شود.

القاگری با جریان اولیة Io در شکل 16-2 آمده است. معادلة ولتاژ و جریان آن در حوزة زمان چنین است.

شکل 16-1- مقاومت در الف) حوزة زمان ،ب) حوزة بسامد.

 

شکل 16-2- القا گر L هانری با جریان اولیه Io آمپر.

در حوزة زمان چنین است

(16-3)                   

پس از تبدیل لاپلاس گرفتن از معادلة (16-3) داریم

(16-4)                   

به کمک دو مدار مختلف می توان معادلة (16-4) را تحقق بخشید. مدار هم از اول مداری است متشکل از یک امپدانس sL اهمی که با یک منبع ولتاژ مستقل ‎LIo ولت ثانیه ای متوالی است. این مدار در شکل 16-3 دیده می شود در بررسی مدار هم ارز حوزة بسامدی شکل 16-3 توجه کنید که جهت ولتاژ منبع LIo بر مبنای علامت منفی مجود در معادله (16-4) است توجه به این نکته نیز اهمیت دارد که Io علامت جبری مخصوص به خود را دارد. یعنی چنانچه مقدار اولیة I خلاف جهت مبنای I باشد آنگاه Io مقدار منفی دارد.

مدار هم از دیگری که معادله (16-4) را برآورده، می سازد متشکل است از یک امپدانس

SL اهمی که با یک منبع جریان مستقل Io/s آمپر ثانیه ای موازی است. این مدار هم ارز در شکل 16-4 آمده است.

برای به دست آوردن مدار هم از شکل 16-4 راههای مختلفی موجود است. یکی از این راهها حل معادلة (16-4) نسبت به جریان I و ساخت مداری بر حسب معادلة به دست آمده بنابراین

(16-5)               

به سادگی مشاهده می شود که مدار شکل 16-4 معادلة (16-5) را برآورده می سازد دو راه دیگر به دست آوردن مدار شکل 16-4 عبارت اند از (1) به دست اوردن هم از نور تن مدار شکل (16-3، (2) به دست آوردن  جریان القا گر بر حسب ولتاژ آن و گرفتن تبدیل لاپلاس از معادلة به دست آمده این دو روش به صورت تمرین در مسائل 16-1 و 16-2 به خواننده واگذار می شود.

قابل توجه است که هرگاه انرژی اولیة ذخیره شده در القا گر صفر باشد یعنی اگر Io=o مدار هم ارز القا گر در حوزة بسامد به صورت القا گری با امپدانس sL اهم در می آید. این مدار در شکل 16-5 آمده است.

برای خازنهای با بار اولیه نیز دو مدار هم ارز در حوزة s وجود دارد. خازنی که با بار اولیة Vo ولت در شکل 16-6 دیده می شود. جریان خازن چنین است.

شکل 16-5 مدار خوزة بسامدی القاگری با جریان اولیه صفر.

 ...

شکل 16-6- خازنی C فارادی که تاVo ولت بار دار شده است.

(16-6)                   

پس از تبدیل معادلة (16-6) داریم

یا

(16-7)                    I=sCV-CVo

از معادله فوق دیده می شود که جریان I در حوزة بسامد از دو جریان شاخه ای تشکیل می شود یکی از شاخه ها از یک گذارایی به مقدار sc مو و دیگری از یک منبع جریان مستقل CVo آمپر ثانیه ای تشکیل  می شود. این مدار هم ارز در شکل 16-7 آمده است.

از حل معادلة (16-7) نسبت به V می توان مدار هم ارز متوالی خازن باردار را به دست آورد. بنابراین داریم

(16-8)                   

مداری که در شکل 16-8 آمده است تحقق معادلة (16-8) است.

در مدارهای هم ارز شکلهای 16-7 و 16-8، علامت جبری خود را دارد. یعنی اگر جهت  خلاف جهت مبنای  باشد  مقداری منفی خواهد بود. اگر ولتاژ اولیه خازن صفر باشد مدارهای هم ارز ساده می شوند و تنها امپدانس sc/1 اهمی باقی می ماند که در شکل 16-9 آمده است.

مدارهای حوزه بسامدی به دست آمده در این بخش در جدول 16-1 آمده اند. کاربرد این مدارها در بخش 16-4 نشان داده خواهد شد.

جدول 1016 مدارهای هم ارز در حوزة s

شکل 16-9 مدار حوزة بسامدی خازنی با ولتاژ اولیة صفر

16-3- تحلیل مدار در حوزة s

پیش از بررسی مدارها در حوزة s به ذکر چند نکته می پردازیم که اساس تمام کارهای بعدی ماست.

نخست میدانیم که چنانچه در القا گر و خازنها انرژی اولیه نداشته باشیم رابطة ولتاژ و جریان آنها چنین است.

(16-9)            V=ZI

که در آن Z امپدانس (پاگیرایی) عنصر در حوزة s است. به این ترتیب امپدانس مقاومت R اهم، امپدانس القا گر sL اهم، و امپدانس خازن sC/1 اهم است. نکته ای که در معادلة (16-9) آمده است، در شکلهای 16-1(ب)، 16-5، و 16-9 مشخص شده است. گاه معادلة (16-9) را قانون اهم در حوزة s می نامند.

عکس پاگیرایی، گذارایی، گذاراییها در حوزة s دقیقاً همان قواعد ترکیب آنها در حوزة فازبرداری است. در تحلیل  حوزة بسامدی می توان از ساده کردنهای متوالی و موازی و تبدیلهای ستاره – مثلث استفاده کرد.

نکتة مهم دیگر این است که قوانین کبرشهف را می توان برای جریانها و ولتاژهای حوزة s به کار برد. دلیل این امراین است  که بنا به خواص تبدیل عملیات، تبدیل لاپلاس مجموع چند تابع در حوزة زمان برابر مجموع تبدیل لاپلاسهای یکایک توابع است( جدول 15-2 را ببینید) بنابراین از آنجا که جمع جبری جریانها در یک گروه در حوزة زمان صفر است، جمع جبری جریانهای تبدیل شده نیز صفر خواهد بود. همچنین جمع جبری ولتاژهای تبدیل شده حول مسیری بسته صفر است. قوانین کیرشهف در حوزة s چنین اند.

...

فهرست مطالب

عنوان                                  صفحه

کاربرد تبدیل لاپالس در تحلیل مدار....... 1

16-1- مقدمه........................... 1

16-2- عناصر مدار در حوزة s............. 2

16-3- تحلیل مدار در حوزة s.............. 9

16-4 چند مثال تشریحی................... 10

16-5 تابع ضربه در تحلیل مدار........... 28

16-6 خلاصه............................. 46

17-5- تابع تبدیل و انتگرال کانولوشن... 48

 مراجع........................................... 64

...

62 ص فایل Word