لینک دانلود و خرید پایین توضیحات
فرمت فایل word و قابل ویرایش و پرینت
تعداد صفحات: 5
پی یر سیمون لاپلاس 1749 - 1827 ریاضیدان و منجم و فیزیکدان فرانسوی نظریه جاذبه نیوتون را در موردمنظومه شمسی بکار برد. شهرت او بیشتر بخاطر تبدیل لاپلاس در کنترل فرآیندها و کاربردهای مهندسی مانند برق و الکترونیک و مکانیک است تبدیلات منحصر به تبدیل لاپلاس نیست بلکه از تبدیلات دیگری نیز استفاده می شود که برخی از آنها بدین شرح است:
Abel Transform, Z-transform, Merril Transform, Borel Transform, Fourier Transform, Logarithm Transform, Laplace Transform, Mellin Transform, Radon Transform, Sumudu Transform,
در ریاضی ، مقصود از تبدیل عبارت یا تابع آنست که یک اپراتور بر آن اثر گذارد و آنرا به شکلی در آورد که عملیات مورد نظر به آسانی ممکن باشد و آسانتر از عملیات با خود تابع باشد. معمولا تبدیلات برگشت پذیر است و می توان نتیجه عملیات را به شکل نخستین تابع برگرداند.
در شکل روبرو منحنی آبی رنگ پدیده ای را نشان می دهد که در امتداد محور زمان تموج دارد ولی اگر با تبدیل فوریه آنرا تجزیه کنیم می بینیم از جمع سه موج ساده سینوسی با فرکانس های 1 و 2 و 3 تشکیل شده است. هنگامی که پدیده را در امتداد محور زمان می سنجیم اصطلاحا گفته می شود که در قلمرو زمان Time Domain هستیم و وقتی همان پدیده را در امتدادمحور فرکانس بنگریم اصطلاحا گفته می شود که در قلمرو فرکانس Frequency Domain هستیم تبدیل لاپلاس بر این اندیشه استوار است که برای حل یک معادله ، یا دستگاهی از معادلات، که شامل دیفرانسیل و انتگرال باشد آن معادله را از یک قلمرو به قلمرو دیگری تبدیل کنیم تا عملیاتمان آسانتر شود و در پایان عملیات، جواب را به فضا یا قلمرو اولیه برگردانیم.
نمونه تبدیلات آسان کننده تبدیل لگاریتم است که محاسبات را یک درجه ساده تر می کند: یعنی ضرب وتقسیم را به جمع و تفریق و محاسبه توان و ریشه را به ضرب و تقسیم تبدیل می کند:. در جدول زیر به لگاریتم نظری می اندازیم و بعد به تبدیل لاپلاس باز می گردیم.
از هزاران سال پیش تا چهارصد سال قبل، زمانی که هنوز ماشین حساب و کامپیوتر وجود نداشت، محاسبه کاری پرزحمت و دشوار بود. روش محاسبه جذر و کعب اعداد را همگان نمی دانستند . حدود 400 سال پیش ، جدول لگاریتم ابداع شد تا محاسبه ریشه اعداد به عمل ساده تر تقسیم تبدیل شود و محاسبه توانهای اعشاری اعداد به عمل ساده تر ضرب تبدیل شود و نیز، عملیات تقسیم و ضرب به تفریق و جمع تبدیل شود. روش لگاریتم، که یک شاهکار خلاقیت ذهن بشر است بقدری در پیشرفت علوم و فنون موثر بوده که آنرا با اختراع دستگاه چاپ همطراز میشمارند. اصل موضوع بسیار ساده است. مثلا همه می دانند که 5 به توان 2 می شود 25 ولی شاید ندانند که لگاریتم 25 در پایه 5 می شود 2بعبارتی دیگر، به توان رساندن و لگاریتم ارتباط دارند: عمل توان می گوید اگر عددپایه بدفعات در خودش ضرب شود حاصل کار چه خواهد بود؟ و عمل لگاریتم می گوید که عدد پایه چنددفعه در خودش ضرب شود تا حاصل کار بدست آید؟. و باز به عبارتی دیگر، لگاریتم یک عدد در پایه 10 : وقتی می گوئیم Log 1000 مقصود عددی است که 10 به توان آن برابر با 1000 شود. لذا، Log 1000=3لگاریتم یک عدد در پایه e : وقتی می گوئیم ln 1000 مقصود عددی است که e به توان آن برابر با 1000 شود و 2.71828 = e . لذا، 6.90775 = ln 1000
و با این لگاریتم، از جدول عدد 0.499999 بدست می آید که تقریباهمان 5 است
روابط لگاریتمی
مثال عددی: میخواهیم با استفاده از روابط لگاریتمی، مقدار عبارت زیر را حساب کنیم
(که البته جواب آن 5 است)
در 1614 میلادی یک اسکاتلندی بنام جان نپرJohn Napier بر اساس فکر یک ساعت ساز سویسی بنام ژوست بورگی جدول لگاریتم را ساخت. از آن جدول می توانیم
لگاریتم هر عدد و عدد هر لگاریتم را بدست آوریم.
تبدیل لاپلاس
مقدمه : می دانیم که منحنی تابع y = x یک خط راست با زاویه 45 درجه است که از مرکز می گذرد ومنحنی تابع یک سهمی است و منحنی سینوس به شکل یک موج متناوب است. ولی در محدوده 0 تا بینهایت، انتگرال آنها (یا بعبارتی دیگر مساحت زیر منحنی) به سوی یک حد معین میل نمی کند
حال اگراین تابع کاهنده در تابع های فوق الذکر ضرب شود، آنها را هم می کاهد و به شکلی در می آورد که درتصویر روبرو می بینیم و انتگرال آنها در محدوده 0 تا بینهایت به سوی حد معینی میل می کند.
در تبدیل لاپلاس، آن تابع کاهنده را در تابع ضرب می کنیم تا در محدوده 0 تا بینهایت، انتگرالش به سوی حد معینی میل کند .
مثلا اگر تابع ما باشد، تبدیل لاپلاس آن این است:
و اگر تابع ما باشد، آنگاه تبدیل لاپلاس آن (با استفاده از فرمول حاصله در سطر قبل برای ) چنین خواهد بود:
و اگر تابع ما y(t)=cos t باشد آنگاه تبدیل لاپلاس آن چنین خواهد بود:
در اینجا جدول تبدیل لاپلاس برای برخی از تابع ها دیده می شود. با استفاده از این جدول می توان تابع را تبدیل کرد و نیز بعد از عملیات، با داشتن شکل تبدیل شده، تابع را بدست آورد.
پی یر سیمون