دانلود با لینک مستقیم و پر سرعت .
لینک دانلود و خرید پایین توضیحات
فرمت فایل word و قابل ویرایش و پرینت
تعداد صفحات: 9
تحلیل ورقهای مرکب پیزوالکتریک با استفاده از تئوری لایه ای به روش اجزاء محدود
چکیده
در این مقاله فرمول بندی کلی اجزاء محدود با استفاده از تئوری لایه ای برای تحلیل ورقهای مرکب با لایه های پیزوالکتریک بکار گرفته شده است. این تحقیق تغییر مکانهای کوچک، رفتار الاستیک خطی، توابع مختلف درون یاب در جهتهای مختلف صفحه و همچنین تغییرات ضخامت را نشان می دهد. در ضمن این روش مقایسه ای را بین تئوری های لایه ای با ضخامتهای مختلف انجام می دهد.
کلمات کلیدی: تئوری لایه ای1، مواد پیزوالکتریک2، روش اجزاء محدود3، ورقهای مرکب4
1- مقدمه
اخیراً استفاده از مواد پیزوالکتریک در ساختارهای هوشمند رشد قابل ملاحظه ای داشته است. مواد پیزوالکتریک دارای خاصیت جفت شدگی5 و هماهنگی قوی بین پاسخ مکانیکی و الکتریکی هستند[1].
وقتی که این مواد تحت تنش کششی، فشاری یا نیروی برشی قرار می گیرند، یک ولتاژ الکتریکی در آنها بوجود می آید. که به عنوان تاثیر مستقیم پیزوالکتریک شناخته می شود.
لذا دارای کاربردهای مختلفی در علوم مهندسی از جمله هوا فضا، شیمی، عمران، الکترونیک و مکانیک و... می باشند[2]. همچنین می توان به عنوان سنسور برای اندازه گیری مقادیر فیزیکی از جمله کرنش در ساختارهای متفاوت و پیش بینی خرابی از آنها استفاده کرد. از مواد پیزوالکتریک می توان به عنوان محرک در کنترل ارتعاشات نیز استفاده نمود[3].
اولین بار یونانیان باستان متوجه خاصیت الکتریکی بویژه شارژ استاتیکی در مواد خاص در هنگام سایش آنها به یکدیگر شدند[4]. استفاده های نخستین از مواد پیزوالکتریک به سال 1880 بر می گردد زمانی که برادران کوری اثر مستقیم مواد پیزوالکتریک را کشف کردند[5].
ویت در سال 1894 متوجه رابطه بین ساختار مواد و تاثیرات پیزوالکتریک شد. بدین صورت که یک ولتاژ در مواد پیزوالکتریک باعث تغییرات هندسی در آنها می شود .که امروزه به نام تاثیرات معکوس پیزوالکتریک شناخته می شود[6].
مواد بسیاری از جمله نمک راشل6 ،کوارتز7،باریم8 و کهربای اصل9 خواص پیزوالکتریک را از خود نشان می دهند. در اوایل سال 1918 لنگ اوین از مواد پیزوالکتریک برای ساخت سونار10در جنگ جهانی دوم استفاده کرد. همچنین در دهه 1960 بشر متوجه خاصیت پیزوالکتریک در استخوان و ماهیچه انسان شدند.
باید توجه داشت که خواص مکانیکی ورقهای مرکب در جهت عرضی ناپیوسته است و این گونه سازه ها در برابر تنش های برشی و عمودی عرضی بسیار تغییر شکل پذیر می باشند. به علت وجود خواص مکانیکی مختلف در جهات و لایه های متفاوت، صفحه در حالت کلی ناهمگن بوده و به همین دلیل تا به حال تئوری های متعددی برای مدل- سازی خصوصیات موادی و رفتار سینماتیکی آنها ارائه شده است. این تئوری ها به طور کلی شامل تئوری های مبنی بر توزیع میدان تنش11 و توزیع میدان تغییر مکان12 می باشند. تئوری های مبنی بر توزیع میدان تنش کاربرد چندانی در تحلیل صفحات ندارند، زیرا بسط مدل اجزاء محدود آنها دشوار می باشد و اغلب از تئوری های مبنی بر توزیع میدان تغییر مکان در جهت ضخامت، استفاده می شود. تئوری های مبنی بر توزیع میدان تغییر مکان نیز به دو دسته تئوری های تک لایه معادل و تئوری های لایه ای تقسیم می شوند.
تحلیل صفحات کامپوزیتی بر اساس یکی از روش های زیر است:
1-1) تئوری های تک لایه معادل1 (دو بعدی):
1—1-1) تئوری کلاسیک صفحات چند لایه
1-2-2) تئوری های تغییر شکل برشی صفحات چند لایه
1-2) تئوری سه بعدی الاستیسیته:
1-2-1) فرمول بندی سنتی سه بعدی الاستیسیته
1-2-2) تئوری های لایه ای
1-3) روش های دو بعدی و سه بعدی مدل چندگانه (روش اجزاء محدود)
تئوری های تک لایه معادل از تئوری سه بعدی الاستیسیته با ایجاد فرضیات مناسب درباره سینماتیک تغییر شکل یا حالت تنش در راستای ضخامت چند لایه کامپوزیتی به دست آمده اند. به این ترتیب می توان تغییر شکل صفحه کامپوزیتی را در قالب یک تک لایه معادل توصیف نمود و بنابراین مسئله سه بعدی به دو بعدی کاهش پیدا می کند. برای صفحات چند لایه مرکب این کار مانند آن است که چند لایه ناهمگن با یک تک لایه، که از نظر استاتیکی با چند لایه مذکور معادل است، جایگزین گردد. به این ترتیب میدان تغییر مکان یا میدان تنش به صورت ترکیبی خطی از توابع نامعین و مختصه ضخامت در نظر گرفته می شود. تئوری کلاسیک صفحات چند لایه که ساده ترین تئوری تک لایه معادل می باشد، از بسط تئوری کیرشهف2 برای صفحات کامپوزیتی به وجود آمده است. طبق این تئوری، خطوط مستقیم که ابتدا عمود بر صفحه میانی بوده اند، بعد از تغییر شکل نیز مستقیم و عمود باقی خواهند ماند. همچنین از تغییر ضخامت صفحه صرفنظر می شود. تئوری کلاسیک کاربرد وسیعی در تحلیل خمش استاتیکی، ارتعاشات و پایداری صفحات نازک دارد، ولی از آنجا که از تنش های ناشی از تغییر فرم های برشی صرفنظر می کند، از این تئوری نمی توان در مورد صفحات ضخیم که تغییر شکل های برشی در آن حائز اهمیت می باشد، استفاده نمود. بنابراین کاربرد روش کلاسیک محدود به صفحات نازک می باشد. ریزنر و میندلین به منظور بیان تاثیر تنش های برشی عرضی بر رفتار صفحات، تئوری هایی ارائه نمودند که اکنون به نام تئوری صفحه ریزنر- میندلین3 و یا تئوری تغییرشکل برشی مرتبه اول4 مشهور است. تئوری فوق پرکاربرد ترین تئوری در رابطه با تحلیل صفحات می باشد. بر طبق این تئوری تنش های برشی عرضی در جهت ضخامت ثابت فرض می شوند. بنابراین خطوط مستقیم که ابتدا عمود بر صفحه میانی بوده اند، بعد از تغییر شکل مستقیم باقی خواهند ماند اما لزوما" عمود بر صفحه میانی نیستند.
با توجه به فرض ثابت بودن تنش های برشی عرضی در راستای ضخامت، به منظور بهبود توزیع میدان تنش، از ضرایب تصحیح برشی استفاده می شود. به دلیل وجود خطای غیر قابل اغماض تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول، خصوصاً در تحلیل صفحات ضخیم و نیز در پیش بینی تنش های برشی عرضی، محققان سعی نمودند تئوری بهتری را برای پیشگویی میدان تنش و کرنش در چند لایه های کامپوزیتی ارائه نمایند. به همین جهت تئوری های دیگری با هدف رفع محدودیت های تئوری کلاسیک و تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول و تشریح بهتر سینماتیک تغییر شکل صفحات، با در نظر گرفتن فرم کامل تری از تغییرات تنش های برشی ارائه شد که به نام تئوری های مرتبه بالاتر5 شهرت یافته اند. بسط تیلور میدان تغییر مکان این تئوری ها در راستای ضخامت برحسب ترم های مرتبه بالاتر بیان می شود. از جمله مزایای این تئوری ها آن است که توزیع کرنش های برشی را در طول ضخامت به صورت سهموی در نظر گرفته و شرط صفر بودن تنش های برشی عرضی را در سطوح صفحه از طریق اعمال شرایط مرزی به میدان تنش، برآورده می سازند. تئوری های تکاملی فوق تحت عنوان تئوری های تک لایه معادل شناخته می شوند. مدل های تک لایه معادل برای بیان رفتار کلی صفحات چند لایه مانند خیز، فرکانس پایه ارتعاشی، بار کمانش بحرانی و منتجه های نیرو و ممان مناسبند؛ اما در تحلیل های دقیق لایه ای و بین لایه ای و تشریح اثرات موضعی مانند توزیع تنش های درون لایه ای و پدیده لایه لایه شدن کارایی لازم را ندارند.
برای پیشگویی دقیق توزیع تنش و به دست آوردن مدلی جامع جهت تشریح سینماتیک تغییر شکل چند لایه های کامپوزیتی باید وضعیت سه بعدی تنش ها را مورد تحلیل و ارزیابی قرار داد.
در تئوری لایه ای، صفحه کامپوزیتی به چند زیر لایه تقسیم می شود و برای هر کدام ، میدان تغییر مکان به طور جداگانه فرض می شود؛ بنابراین خصوصیات موادی و اثرات برشی منحصر به فرد هر لایه در میدان تغییر مکان لحاظ می گردد و باعث می شود تا نمایش صحیحی از میدان کرنش در لایه های مختلف فراهم آمده و تنش ها در لایه ها با دقت بیشتری محاسبه گردد. در این تئوری تغییرات میدان جابجایی در جهت ضخامت بر اساس توابع درونیاب یک بعدی لاگرانژی تعریف می گردد که به طور خودکار پیوستگی از نوع را در امتداد ضخامت بر مؤلفه های تغییر مکان اعمال می نماید و سبب می شود که کرنش های عرضی در امتداد ضخامت به صورت تکه تکه6 خطی شوند.
2- میدان تغییر مکان کلی تئوری های تک لایه معادل
تئوری کلاسیک و تئوری های تغییر شکل برشی مرتبه اول و مرتبه سوم صفحات چند لایه را می توان در قالب یک تئوری واحد بیان نمود:
که،وتغییر مکان در جهات،، و به ترتیب چرخش محور عمود بر صفحه میانی، حول محورهایو می باشد. و توابع مجهول هستند و به چرخش های مرتبه بالا اشاره دارند. کلیه تغییر مکان های تعمیم یافته فوق توابعی ازوهستند. با انتخاب مقادیر صحیح ثابت های،،ومی توان میدان تغییر مکان تئوری های مختلف را از رابطه فوق استخراج نمود.
در تئوری کلاسیک:
(2)
در تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول:
(3)
در تئوری تغییر شکل برشی مرتبه دوم:
(4)
در تئوری تغییر شکل برشی مرتبه سوم:
(5)
/
شکل1- نیروها، ممان ها و سینماتیک تغییر شکل صفحه در تئوری کلاسیک و تئوری های تغییر شکل برشی مرتبه اول و مرتبه سوم[2].
همان گونه که مشاهده می شود، تمام تئوری های معرفی شده فوق را می توان با یک میدان تغییر مکان کلی بیان نمود؛ اما تئوری لایه ای اساساً با تئوری های فوق متفاوت است. همان طور که از میدان تغییر مکان (1) پیداست، در این گونه تئوری ها که به تئوری های تک لایه معادل مشهورند، مؤلفه های تغییر مکان با یک عبارت که تابعی پیوسته از در تمام طول ضخامت است، تخمین زده می شوند و بنابراین پیوستگی از نوع را در امتداد ضخامت ایجاد می نماید. بنابراین میدان کرنش نیز پیوسته بوده و همان طور که بیان شد، به علت وجود ضرایب متفاوت برای لایه های غیر هم جنس، تنش های برشی عرضی ( و) در محل تماس لایه ها، ناپیوسته می گردد. تئوری های لایه ای به همین سبب، به وجود آمدند. این تئوری میدان جابجایی با پیوستگی از نوع را در هر لایه به طور مجزا در نظر می گیرد. بنابراین این امکان را به وجود می آورد که با اعمال ضرایب مختلف بر کرنش های برشی عرضی ناپیوسته در محل تماس لایه ها، تنش های متناظر پیوسته شود.
شکل2- نمایش تغییرات پیوسته کرنش درون صفحه ای و تغییرات ناپیوسته تنش متناظر در تئوری های تک لایه معادل[9].
3- تئوری لایه ای
تئوری های لایه ای در راستای بهبود و تکامل تئوری های تک لایه معادل به وجود آمده اند و مبنی بر بسط میدان تغییر مکان منحصر به فرد در هر لایه می باشند. برخلاف تئوری های تک لایه معادل، تئوری های لایه ای بر اساس فرض پیوستگی از نوع میدان جابجایی در راستای ضخامت شکل می گیرند، بنابراین مؤلفه های تغییر مکان در طول ضخامت پیوسته خواهند بود ولی مشتقات تغییر مکان ممکن است در نقاط مختلف در راستای ضخامت ناپیوسته باشند. میدان جابجایی را در حالت کلی (سه بعدی) و شامل شش مؤلفه کرنش در نظر می گیریم. کرنش های درون صفحه ای در راستای ضخامت صفحه و به طور هم زمان کرنش های جانبی در سطوح مشترک لایه ها به طور تکه ای پیوسته خواهند بود. همچنین امکان پیوستگی تنش های عرضی در فصل مشترک لایه های متشکل از مواد غیر مشابه وجود خواهد داشت. میدان کرنش به خصوص در حالتی که تعداد لایه ها افزایش می یابد، به میدان کرنش واقعی نزدیک تر می شود. تغییرات جابجایی در هر لایه از طریق درونیابی خطی لاگرانژ یا توابع شکل درجه دو به دست می آید[9].
شکل3- تغییر شکل و میدان تنش صفحه چند لایه کامپوزیتی در تئوری لایه ای[9]. از تعادل نیروهای درون لایه ای (شکل (4))، شرایط پیوستگی میدان تنش لایه های مجاور در سطوح مشترک آنان، به صورت زیر نتیجه می شود:
شکل4- تعادل تنش های درون لایه ای [9].
از آنجا که در حالت کلی ، رابطه زیر را می توان در مورد میدان کرنش لایه های مجاور نوشت:
در تمام تئوری های تک لایه معادل مبنی بر میدان جابجایی، مؤلفه های تغییر مکان به صورت توابعی پیوسته از ضخامت صفحه، فرض می شوند. بنابراین کرنش های عرضی پیوسته خواهند بود و بدین ترتیب اصل بیان شده در رابطه (7) نقض می گردد. از این رو تمام تنش ها در تئوری های تک لایه معادل در مرز لایه ها، به ویژه تنش های عرضی در سطح مشترک دو لایه که به تنش های درون لایه ای معروف هستند، ناپیوسته می باشند:
در چند لایه های نازک، خطای ایجاد شده ناشی از ناپیوستگی تنش های درون لایه ای قابل صرفنظر کردن می باشد.
تئوری های لایه ای مبنی بر جابجایی به دو دسته تقسیم می شوند:
3-1- تئوری های لایه ای جزئی1: که در آن از بسط لایه ای برای محاسبه مؤلفه های تغییر مکان درون صفحه ای استفاده می شود.
3-2- تئوری های لایه ای کامل2: که در آن از بسط لایه ای برای محاسبه هر سه مؤلفه تغییر مکان استفاده می شود.
در مقایسه با تئوری های تک لایه معادل، تئوری های لایه ای جزئی با معرفی اثرات تنش های برشی عرضی لایه مجزا در میدان جابجایی، شرایط بهتری را جهت تشریح رفتار چند لایه های کامپوزیتی فراهم می آورند. در تئوری های لایه ای کامل، اثر تنش های عمودی لایه مجزا نیز در نظر گرفته می شود و دقت آن بیشتر خواهد شد. در ادامه تئوری لایه ای مبنی بر تغییر مکان ردی یا تئوری کلی صفحه چند لایه معرفی می شود. این تئوری بر اساس تغییرات تکه تکه خطی مؤلفه های تغییر مکان درون-صفحه ای و تغییر مکان عرضی ثابت در راستای ضخامت، بنا نهاده شده است. یک چند لایه متشکل از لایه زیر را در نظر بگیرید. مختصات چند لایه را روی صفحه میانی3 قرار داده به طوری که جهت مختصات ضخامت، رو به بالا باشد (شکل (5)). هر لایه ارتوتروپیک4 بوده و جهت اصلی ماده در آن (جهت الیاف) نسبت به مختصات چند لایه دلخواه است.
شکل5- شماتیک چند لایه در جهت ضخامت [9].
در این تئوری برای هر نقطه دلخواه در چند لایه با مختصات () میدان تغییر مکان به صورت زیر در نظر گرفته می شود:
در رابطه فوق () تغییر مکان های نقطه () روی صفحه مبنا (صفحه میانی) بوده وو توابعی هستند که روی این صفحه صفرند:
(10)
خیز جانبی مستقل از مختصات ضخامت فرض می شود. به منظور کاهش تئوری سه بعدی به دو بعدی، مؤلفه های برون صفحه ای تغییر مکان، و، به صورت ترکیبی خطی از توابع مجهول برحسب () و توابع پیوسته بر حسب () در نظر گرفته می شوند:
که و ضرایب مجهول و توابع معلوم تکه تکه پیوسـته بر حسـب مختصات () بوده و تنها در دو لایه مجاور هم تعریف می شوند. این توابع شرایط زیر را ارضا می کنند:
(12)
دقت میدان جابجایی به دست آمده در رابطه (11) به تابع شکل و تعداد لایه های چند لایه () بستگی دارد. اگر فرض شود که توزیع تغییر مکان به شکل تکه تکه خطی باشد، در این صورت تابع درونیاب کلی عبارت خواهد بود از :
(13)
(14)
که مختصات ضخـامت سطـحی اسـت که بین () امین وامین زیر لایه می باشد ]9[. شکل (6) تغییرات تغییر مکان را در تئوری لایه ای نشان می دهد. تعداد زیر لایه ها () در جهت ضخامت می تواند کمتر، مساوی و یا بیشتر از تعداد لایه های چند لایه باشد. وقتیکمتر از تعداد لایه ها باشد باعث می شود تا کل چند لایه همانند مجموعه ای از چند زیر لایه مدل شود.
شکل6- نمایش تغییرات جابجایی در امتداد ضخامت و توابع درونیاب کلی خطیدر تئوری لایه ای[9].
4- توصیف مدل
یک صفحه مرکب با ضخامت H باسطح مقطع دلخواهΩ از جنس مواد پیزوالکتریک با لایه هایی شامل مواد الاستیک خطی متفاوت تشکیل شده است.
شکل 7- هندسه صفحات مرکب و مرزها[1].
که مختصات کارتزین به عنوان مختصات اصلی آن در نطر گرفنه شده است.(z در جهت ضخامت می باشد)که شکل آن در جهت ضخامت بصورت زیر است.
