دانلود مقاله کامل درباره شبکه های محلی

اختصاصی از حامی فایل دانلود مقاله کامل درباره شبکه های محلی دانلود با لینک مستقیم و پر سرعت .

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

فرمت فایل word  و قابل ویرایش و پرینت

تعداد صفحات: 62

به نام خدا

شبکه های محلی

Local Area Networks

LANs

انتقال داده ها

Data Transmission

استاد: آقای مهندس فیروزبخت

دانشجو: الهام خزائی

سال ورودی: 1380

رشته: کامپیوتر، گرایش سخت افزار

پائیز 83

کابل بندی شبکه:

در ادامه مبحث شبکه به نحوه کابل بندی شبکه می رسیم همانطور که می دانید در شبکه های سیمی باید اجزای شبکه توسط کابل ها با یکدیگر مرتبط شوند اما برای کابل بندی مثلاً شبکه های LAN روشهای متفاوتی هست. در بعضی شبکه ها از یک نوع کابل استفاده می شود و در بعضی دیگر از چندین نوع کابل استفاده می شود. آنچه مبرهن است آنستکه چگونگی کابل بندی شبکه بسته به نوع توپولوژی شبکه و پروتوکول آن متفاوت است.

Unshieleded Twisted Pair (UTP) Cabling

در دو نوع متفاوت است: Shielded حفاظ دار Unshielded بدون حفاظ UTP از محبوبیت بیشتر و همچنین عمومیت بیشتری برخوردار است. و می توان آنرا بهترین انتخاب برای یک شبکه مثلاً مدرسه ای در نظر گرفت. کیفیت این نوع کابل از لحاظ کیفیت می تواند بین یک کابل بندی با کیفیت تلفنی تا یک کابل بندی با سرعت زیاد تغییر کند. این کابل درون حفاظش چهار جفت سیم دارد. که دو تا دو تا به هم پیچیده شده اند و قابل تشخیص از یکدیگر هستند. هر چه این ها به هم محکمتر پیچیده شده باشند سرعت تبادل اطلاعات در آنها بیشتر و همچنین از لحاظ قیمت هم گرانتر هستند.

EIA/TIA (Electronic Industry Associaton/Telecommunication Industry Association)

پنج نوع متفاوت از این نوع سیم ها عرضه کرده است که دارای استاندارد مناسبی هستند.

نوع 1 فقط جهت انتقال صدا یا سیم تلفن

نوع 2 برای localtalk و سرعت انتقال اطلاعات 4 mbps

نوع 3 ethernet برای تبادل 10 mbps

نوع 4 برای تبادل 20 مگابایت و 16 مگابایت برای token ring

نوع 5 برای تبادل 100 مگابایت از نوع fast Ethernet

برای خرید هر کدامی را که مورد نیاز شماست و توانایی پرداخت آن را دارید انتخاب کنید. اکثراً از نوع 3 و 5 بیشتر استفاده می شود. این دو نوع در حداکثر 100 متر باید استفاده شوند.

Unshielded Twisted Pair Connector

کانکتور استاندارد این نوع RJ-45 می باشد. یک کانکتور پلاستیکی برای شبکه به سوکت تلفن منتهی کمی بزرگتر می باشد. RJ برای Registered Jack می باشد.

Shielded Twisted Pair (STP) Cabling

برای محیط های الکتریکی استعداد خوبی دارد که البته به دلیل پوشش سنگینی که روی این کابل قرار دارد کمی سنگین و گاهی بزرگ به نظر می رسد. که بیشتر برای شبکه های token ring استفاده می شود.

Coaxial Cable Connectors

بیشترین استفاده این کانکتور با کابلهای هم محور می باشد که در BNC Bayone Neill Concelman استفاده می شود. آداپتورهای متفاوتی برای این نوع می باشد. که شامل T-connector barrel connector و terminator می باشد. کانکتورها در شبکه ضعیف ترین قسمت ها می باشند. که برای بهتر شدن وضعیت کابلها و همچنین کاهش پیچش آنها از کانکتور BNC استفاده کنید تا سیم ها در هم بپیچند.

Fiber Optic Cable

شامل یک هسته شیشه ای هست که با لایه های محافظ پوشیده شده است. کاری که این کابلها انجام می دهند آنست که نور را به جای سیگنال

دانلود مقاله کامل درباره لینوکس 15 ص

اختصاصی از حامی فایل دانلود مقاله کامل درباره لینوکس 15 ص دانلود با لینک مستقیم و پر سرعت .

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

فرمت فایل word  و قابل ویرایش و پرینت

تعداد صفحات: 15

تقدیم به پدر و مادر عزیزم

که با لطف و مهر مرا یاری کرده اند

مقدمه :

حمد و سپاس ایزد منان را که با الطاف بیکران خود این توفیق را به ما ارزانی داشت تا بتوانیم در راه ارتقای دانش عمومی و فرهنگ و به ویژه علوم کامپیوتر و انفورماتیک گامهایی هرچند کوچک برداریم.

امروزه گستردگی علوم و توسعه روزافزون آن شرایطی را به وجود آورده که هر روز شاهد تحولات اساسی و چشمگیر در سطح جهان هستیم. این مطلب را با مقدمه ای در مورد سیستم عامل شدن لینوکس آغاز می کنیم. درباره ی توسعه گذشته و آینده ی لینوکس صحبت خواهیم کرد و نگاهی دقیق به مزایا و معایب آن می پردازیم. در مورد توزیعات مختلف و همچنین سورس آزاد صحبت خواهیم کرد. این نوشته به سؤالاتی از این قبیل پاسخ می دهد:

1ـ لینوکس چیست؟

2ـ لینوکس کجا و چگونه آغاز شد؟

3ـ آیا لینوکس همان سیستم عاملی است که در آن همه چیز در حالت متنی انجام می شود؟

4ـ آیا لینوکس آیندة درخشانی دارد؟

5ـ مزایای لینوکس چیست؟ معایت آن چیست؟

6ـ چند نوع لینوکس وجود دارد؟

7ـ جنبشهای opensource و GNU چیست؟

1ـ1ـ تاریخچه :

1ـ1ـ1ـ یونیکس :

برای درک عمومیت و محبوبیت لینوکس، باید حدود 30 سال به عقب برگردیم … تصور کنید که رایانه ها به بزرگی خانه ها یا حتی استادیوم ها هستند. زمانی که اندازة رایانه ها به خودی خود مشکلات فراوانی را پدید می آورد، معضل دیگری وجود داشت که مشکل را حادتر می کرد: هر رایانه سیستم عامل متفاوتی داشت و نرم افزارها تنها برای برآورده کردن یک هدف خاص ایجاد می شدند.

برنامه هایی که به یک رایانه داده می شد، روی سیستم مشکل آفرین بود. رایانه ها بسیار گران بودند و تازه پس از خریدن آن باید تلاش زیادی می شد تا به کاربران نحوه کار کردن با آن آموزش داده شود. در نتیجه هزینه نهایی بسیار بالا بود.

جهان از نظر فناوری آن قدر پیشرفته نبود تا رایانه های کوچکتر بسازد، بنابراین باید برای یک دهه دیگر آن اندازه ها را تحمل می کرد. در سال 1969 یک گروه از برنامه نویسان در آزمایشگاههای بل (Bell Labs) به فکر پیاده کردن راه حلی برای این مشکل افتادند تا بتوانند سازگاری نرم افزارها را سر و سامان بدهند.

آنها سیستم عاملی ایجاد کردند که:

1ـ ساده و جذاب بود.

2ـ با زبان برنامه نویسی C نوشته شده بود. (به جای اسمبلی)

3ـ قادر به بازیابی کُدها بود.

توسعه دهندگان نام این پروژه را unix نهادند.

قابلیت بازیابی کُد بسیار مهم بود. تا آن زمان، تمام رایانه های تجاری موجود با کُدی نوشته شده بود که اختصاصاً برای آن سیستم توسعه داده شده بود.

از این جهت یونیکس تنها به مقدار کمی از این کُدها نیاز داشت که امروزه عموماً به هسته (kernel) معروف است.

برای پایه ریزی یونیکس در هر سیستم، تنها به این مجموعه از کُدها نیاز بود. سیستم عامل و دیگر دستورات با استفاده از زبان سطح بالای C در این هسته ساخته شده بودند. این زبان انحصاراً برای توسعه یونیکس ایجاد شده بود. با استفاده از این تکنیک جدید، توسعه سیستم عاملی که بتواند بر روی سخت افزارهای مختلف اجرا شود، بسیار ساده تر بود. تولیدکنندگان نرم افزار به سرعت یونیکس را پذیرفتند. زیرا می توانستند با زحمت کمتر، ده برابر فروش بیشتر داشته باشند. وضعیت خارق العاده ای به وجود آمده بود. تصور کنید یارانه هایی از شرکت های مختلف در یک شبکه به هم متصل شده بودند یا کاربران بدون نیاز به آموزش اضافی، بر روی سیستم های مختلفی کار می کنند یونیکس نقش بزرگی در سازگار کردن کاربران با سیستم های مختلف ایفا کرد. طی دهه های بعد توسعه یونیکس ادامه یافت. امکان انجام کارهای بیشتر فراهم شد. سازندگان نرم افزار و سخت افزار بیشتری پشتیبانی یونیکس را به محصولات خود افزودند. یونیکس در ابتدا فقط بر روی محیط های بزرگ مانند Main Frame ها و Mini Computer ها پیدا می شد. (توجه داشته باشید که رایانه های شخصی Micro Computer ها هستند.) شما باید در یک دانشگاه و یا یک دولت و سازمان بزرگ اقتصادی کار می کردید تا بتوانید یونیکس را ببینید. اما رایانه های کوچکتر در حال توسعه بودند و تا پایان دهة 80 تعداد زیادی از مردم از رایانه های خانگی استفاده می کردند. در آن زمان نسخه های مختلفی از یونیکس برای کامپیوترهای شخصی به وجود آمده بود، اما هیچ یک واقعاً رایگان نبود.

6ـ6ـ2ـ لینوس و لینوکس :

لینوکس توروالدز، مرد جوانی که در رشته علوم رایانه دانشگاه هلسینکی تحصیل می کرد، به این فکر افتاد که ایجاد نسخه ای دانشگاهی و رایگان از یونیکس ایدة بسیار خوبی خواهد بود. او خود شروع به کُدنویسی کرد:

(From:tor vabls @ klaava. Helsinki. FI (Linus Bendict torvalds)

Nems groups: Comp. OS. Minix

Subject:GCC – 7.40 and posix – question

< message – ID: < 1997 Jul 307 7000 50. 9886 @ kalaava

Data: 3 Jul 97 70: 00: 50 GMT

Helli net landers

Due to a project I’m working on (minix)

I’m instered in the posix standard definition.

Please point mi to a (preferably) machine – readable

format of the latest posix rules? Ftp – sites wouldbenice.

او پرس و جو را در مورد چگونگی بکارگیری یونیکس در رایانه ی شخصی اش آغاز کرد. از ابتدا هدف لینوکس، توسعه یک سیستم عامل کاملاً رایثگان و سازگار با یونیکس اصلی بود. و این دلیل پرسش او در مورد استانداردهای posix است. posix همچنین استاندارد یونیکس است.

برنامه رسیدگی به حسابها

اختصاصی از حامی فایل برنامه رسیدگی به حسابها دانلود با لینک مستقیم و پر سرعت .

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

فرمت فایل word  و قابل ویرایش و پرینت

تعداد صفحات: 19

برنامه ریزی حسابرسی :

1- کسب شناخت

2- ثبت سیستم

برای ثبت سیستم می توان از روش نوشتاری یا فلوچارت استفاده نمود .

3- ارزیابی سیستم : ابزار ارزیابی یک سیستم کنترل داخلی را پرسشنامه سیستم کنترل داخلی گوئیم . اگر نتیجه ارزیابی سیستم این باشد که سیستم قوی است اقدام به رسیدگی و اطمینان از اجرا می کنیم .

پرسشنامه

بله

خیر

آیا کنترل جایگزین وجود دارد ؟

بله

خیر

1- آیا حواله انبار با شماره سریال بایگانی می شود ؟

*

*

4- رسیدگی و اطمینان از اجرا

5- نتیجه گیری : خلاصه مربوط به عملیات قسمت برنامه رسیدگی (سیستمی) به شرح زیر است :

کسب شناخت ، ثبت سیستم ، ارزیابی سیستم ، رسیدگی و اطمینان از اجرا ، نتیجه گیری .

چنانچه سیستم قوی ارزیابی شده باشد ، دو حالت ایجاد خواهد شد :

الف) سیستم قوی هم اجرا می شود . ب ) سیستم قوی اجرا نمی شود.

چنانچه سیستم قوی اجرا شود معنای آن اینست که ساختار کنترل داخلی قوی بوده ، بنابراین می توان به آن اتکا کرد و دامنه آزمون های محتوا را محدود طراحی کرد. چنانچه سیستم ضعیف ارزیابی شود یا سیستم قوی ارزیابی شود ولی در عمل اجرا نشود ، نتیجه آن اینست که دامنه آزمون های محتوا وسیع طراحی شود.

الف) قسمت سیستمی :

کسب شناخت کافی از سیستم کنترل داخلی

برآورد خطر کنترل و طراحی آزمون های اضافی

اجرای آزمون های اضافی

برآورد مجدد خطر کنترل

ب) قسمت آزمون محتوا :

1- نوشتاری

2- فلوچارت (رسم نمودار)

در قسمت آزمون محتوا بدنبال اثبات مانده ها خواهیم بود.

منظور از اثبات مانده ها :

1- اثبات وجود 2- اثبات مالکیت

3- اثبات تمامیت 4- اثبات ارزش 5- افشاء

اعم موارد قابل رسیدگی در صورتهای مالی :

1- نقد و بانک 2- حسابها و اسناد دریافتنی

3- موجودی کالا 4- اموال و ماشین آلات و تجهیزات

5- حسابها و اسناد پرداختنی 6- حقوق صاحبان سهام

1- برنامه رسیدگی به نقد و بانک :

الف ) قسمت سیستمی

1- کسب شناخت کافی از سیستم کنترل داخلی

2- برآورد خطر کنترل و طراحی آزمون های اضافی

3- اجرای آزمون های اضافی

4- برآورد مجدد خطر کنترل

ب ) آزمون های محتوی (رسیدگی محتوایی) : بعد از آنکه حسابرسی ضمنی انجام شد بایستی پرونده حسابرسی ضمنی مطالعه شود و با توجه به نقاط ضعف و قدرت سیستم آزمون محتوا طراحی می شود.

موارد قابل توجه در رسیدگی به حساب نقد و بانک :

کنترل مانده تراز آزمایشی با دفاتر (جمع گیری)

صورت مغایرت بانکی تهیه شده توسط شرکت چک شود.

شمارش و مشاهده موجودی نزد صندوق

ارسال تأییدیه جهت بانکها

موجودی ارزی نزد صندوق بنحو صحیح تسعیر شود.

سود و زیان ناشی از تسعیر شناسایی شده باشد.

آزمون Cut off

تضمین از تنخواه دارها مشاهده شود

2- برنامه رسیدگی به حسابها و اسناد دریافتنی :

الف) قسمت سیستمی :

1- کسب شناخت کافی از سیستم کنترل داخلی

2- برآورد خطر کنترل و طراحی آزمون های اضافی

3- اجرای آزمون های اضافی

4- برآورد مجدد خطر کنترل

1- کنترل مانده تراز با دفاتر

2- اجرای آزمون سندرسی و ردیابی در خصوص بخشی از معاملات

3- ارسال تأییدیه (وجود – مالکیت – ارزش را اثبات می کند)

4- مشاهده عینی اسناد دریافتنی

5- بررسی کفایت ذخیره م م

6- اجرای آزمون Cut off

7- چنانچه اسناد دریافتنی توأم با بهره بوده است ، نسبت به شناسایی مهره تحقق نیافته بررسی لازم انجام شود. درآمد بهره دریافتنی //

درآمد //

پیگیری در سال مالی بعد . (همیشه در مورد ح/پ و ح/د پیگیری در سال بعد لازم است . مثلاً در مورد ح/د اگر در سال بعد معلوم شد که دریافت نمی شود برای آن در صورتها ذخیره در نظر بگیریم.)

حسابهای موجودی کالا :

منظور از موجودی کالا و مواد مجموع مواد خام ، کار در جریان ساخت و محصول ساخته شده می باشد .

نکات حسابداری :

قاعدة اقل بهای تمام شده یا بازار L.C.M

خریدهای خارجی

ترکیبات و نظریه‌ی گراف

اختصاصی از حامی فایل ترکیبات و نظریه‌ی گراف دانلود با لینک مستقیم و پر سرعت .

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

فرمت فایل word  و قابل ویرایش و پرینت

تعداد صفحات: 27

در این مقاله می خواهیم به دو مبحث بزرگ از ریاضیات گسسته با نامهای ترکیبات و نظریه‌ی گراف بپردازیم که در این دوران شاهد پیشرفت چشمگیر آنها می باشیم .

این دو مبحث بدلیل آنکه دارای کاربرد وسیعی در علم کامپیوتر و برنامه سازی های کامپیوتری می‌باشند حائز اهمیت فراوان می باشند .

1-ترکیبات :

شاید در نگاه اول ترکیبات یک بخش معماگونه و سطحی از ریاضیات به نظر برسد که دارای کاربرد چندانی نبوده و فقط مفهوم های انتزاعی را معرفی می کند ولی این شاخه از ریاضیات دارای گستره‌ی وسیع بوده و دارای شاخه های زیادی نیز می باشد .

ابتدا به مسأله ای زیبا از ترکیبات برای آشنا شدن بیشتر با این مبحث ارائه می کنیم .

سوال : یک اتاقی مشبک شده به طول 8 و عرض 8 داریم که خانه‌ی بالا سمت چپ و خانه‌ی پایین سمت راست‌ آن حذف شده است (مانند شکل زیر)

حال ما دو نوع موزاییک داریم . یکی 2*1 ( ) و دیگری 1×2 ( ) سوال این است که آیا می توان این اتاق را با این دو نوع موزائیک فرش کرد .

احتمالاً اگر شخص آشنایی با ترکیبات نداشته باشد می گوید «آری» و سعی می کند با کوشش و

خطا اتاق را فرش کند ولی این کار شدنی نیست ؟! و اثبات جالبی نیز دارد .

اثبات : جدول را بصورت شطرنجی رنگ می کنیم مانند شکل زیر :

حال با کمی دقت متوجه می شویم که هر موزائیک یک خانه از خانه های سیاه و یک خانه از خانه‌های سفید را می پوشاند یعنی اگر قرار باشد که بتوان با استفاده از این موزائیک ها جدول پوشانده شود باید تعداد خانه های سیاه با تعداد خانه های سفید برابر باشد ولی این گونه نیست زیرا تعداد خانه های سفید جدول برابر 32 و تعداد خانه های سیاه برابر 30 می باشد . در نتیجه این کار امکان امکان پذیر نیست .

این مسأله مربوط به مسائل رنگ آمیزی در ترکیبات بوده که دارای دامنه‌ی وسیعی از مسائل دشوار و پیچیده می باشد در زیر چند نمونه از مسائل آسان و سخت را بیان می کنیم .

1-ثابت‌کنید هیچ جدولی را نمی توان به موزائیک هایی به شکل و پوشاند .

(راهنمایی: ثابت کنید حتی سطر اول جدول را هم نمی توان پوشاند)

2-ثابت کنید یک مهره‌ی اسب نمی تواند از یک خانه‌ی دلخواه صفحه‌ی n*4 شروع به حرکت کند و تمام خانه ها را طی کند .

3-یک شبکه‌ی n*m از نقاط داریم یک مسیر فراگیر مسیری است که از خانه‌ی بالا سمت چپ

شروع به حرکت کرده و از همه‌ی خانه هر کدام دقیقاً یک بار عبور کند و به خانه‌ی سمت راست پایین برود ثابت کنید شرط لازم و کافی برای وجود یک مسیر فراگیر در شبکه‌ی n*m آن است که لااقل یکی از m یا n فرد باشد (مرحله‌ی دوم المپیاد کامپیوتر ایران) در شکل زیر یک مسیر فراگیر را برای جدول 5*4 می بینیم .

B

4-ثابت کنید شرط لازم کافی برای پوشش جدول n*m با موزائیک های 2*1 یا 1*2 آن است که یا m یا n زوج باشند .

حال می‌خواهیم یک مبحث مهم از ترکیبات به نام استقراء را معرفی کنیم.

استقراء بعنی رسیدن ازجزء به کل و هم ارز است با اصل خوشترتیبی زیر مجموعه‌ها( اصل خوشتربینی بیان می‌کند که هر مجموعه متناهی از اعداد عضوی به نام کوچکترین عضو دارد).

برای اثبات حکمی به کمک استقراء لازم است:

دنیای ریاضی

اختصاصی از حامی فایل دنیای ریاضی دانلود با لینک مستقیم و پر سرعت .

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

فرمت فایل word  و قابل ویرایش و پرینت

تعداد صفحات: 44

تجزیه ی اعداد به عوامل اول

مقدمه

مجموعه اعداد اول زیر مجموعه‌ای از اعداد طبیعی است که هر کدام از عضوهای آن فقط دو مقسوم علیه مثبت دارند که یکی از مقسوم علیه‌ها 1 و دیگری خود آن عدد می‌باشد. با این تعریف معلوم می‌شود که عدد اول نیست، چون فقط یک مقسوم علیه دارد. مجموعه اعداد اولی که عدد طبیعی m بر آنها بخش‌پذیر باشد عاملهای اول m نامیده می‌شوند. هر عدد طبیعی بزرگتر از 1 را می‌توان به حاصلضرب عاملهای اول تجزیه کرد.

شرایط بخش پذیری اعداد طبیعی به چند عدد نخست مجموعه اعداد اول

بخش‌پذیری بر 2: شرط لازم برای آن که یک عدد بر 2 بخش‌پذیر باشد، آن است که رقم یکان آن زوج باشد مانند 30 ، 1996 ، 204.

بخش‌پذیری بر 3: شرط لازم برای آن که عددی بر 3 بخش‌پذیر باشد آن است که مجموع ارقام آن عدد بر 3 بخش پذیر باشد. مانند 192 (زیرا مجموع ارقام آنها برابر 12 می‌باشد).

بخش‌پذیری بر 5: شرط لازم برای آن که یک عدد بر 5 بخش‌پذیر باشد آن است که رقم یکان آن صفر یا 5 باشد، مانند 205 ، 410.

بخش‌پذیری بر 7: عددی بر 7 بخش‌پذیر است که اگر رقم اول سمت چپ آن را در 3 ضرب کرده و با رقم دوم سمت چپ جمع کنیم وحاصل را بر 7 تقسیم کنیم، سپس باقیمانده تقسیم را دوباره در 2 ضرب کرده و با رقم سوم از سمت چپ جمع و حاصل را بر 7 تقسیم کنیم و همین عملها را تا آخرین رقم ادامه دهیم، در پایان باقیمانده بر 7 تقسیم بر 7 برابر با صفر باشد.

بخش‌پذیری بر 11: عددی بر 11 بخش‌پذیر است که اختلاف مجموع ارقام مرتبه زوج (یکان ، صدگان ، ده هزارگان و ... ) با مجموع ارقام مرتبه فرد (دهگان ، هزارگان ، صدگان و ...) بر 11 بخش‌پذیر باشد.

در حالت m

عددی مانند m اول است اگر و تنها اگر m بر هیچ کدام از اعداد اول تابیشتر از جذر m بخش‌پذیر نباشد. برای تجزیه یک عدد به حاصلضرب عاملهای اول ، آن را به کوچکترین عدد اولی که بر آن بخش‌پذیر باشد تقسیم می‌کنیم و خارج قسمت را نیز بر کوچکترین عدد اولی که بر آن بخش پذیر باشد تقسیم می‌کنیم و این کار را تاجایی ادامه می‌دهیم که خارج قسمت یک باشد. در این صورت حاصلضرب مقسوم علیه‌ها ، حاصلضرب عاملهای اول عدد مورد نظر خواهد بود. مانند 45 = 22 + 32

کوچکترین مضرب مشترک دو عدد

کوچکترین مضرب مشترک دو عدد a و b عبارت است از کوچکترین عددی که بر هم بر a و هم بر b بخش‌پذیر باشد. برای پیدا کردن کوچکترین مضرب مشترک دو عدد b,a (ک.م.م) که آن را به صورت a,b نمایش می‌دهیم، ابتدا دو عدد a و b را به حاصلضرب عاملهای اول تجزیه می‌کنیم. سپس کوچکترین مضرب مشترک دو عدد عبارت است از حاصلضرب عاملهای مشترک و غیر مشترک با توان بیشتر که در تجزیه دو عدد موجود است. به عنوان مثال ک.م.م دو عدد 36 و45 برابر است با 22X32X5 یعنی 180 خواهد بود.

بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد

بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد a و b عبارت است از بزرگترین عددی که هم a و هم b بر آن بخش‌پذیر باشد. برای پیدا کردن بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد b,a را به حاصلضرب (ب.م.م) که آن را به صورت (a,b) نمایش می‌دهیم؛ ابتدا دو عدد a و b را به حاصلضرب عاملهای اول تجزیه می‌کنیم، سپس بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد عبارت است از حاصلضرب عاملهای مشترک دو عدد a و b با توان بیشتر که در تجزیه دو عدد موجود است. به عنوان مثال ب.م.م دو عدد 45 و 36 برابر با 32 یعنی 9 می‌باشد.

دو عدد متباین

دو عدد را نسبت به هم اول یا متباین گویند هر گاه ب.م.م آن دو عدد برابر با 1 باشد. برای مثال دو عدد 8 و 9 نسبت به هم اول هستند، زیرا 1=(9 و 8). بزرگترین مقسوم علیه مشترک n عدد نیز به همین صورت تعریف می‌شود. باید توجه داشت که در این حالت منظور از عاملهای مشترک ، اعداد اولی هستند که در تجزیه تمامی n عدد مشترک می‌باشد. برای هر دو عدد طبیعی a,b تساوی (a ,b).a,b=ab برقرار می‌باشد.

تعداد مقسوم علیه های مثبت یک عدد

در حالت کلی اگر عدد تجزیه به عوامل a به صورت P2α2X PnαnXP1α1 باشد، که در آن P1 ، Pn ، ... ، P2 اعداد اول متمایز می باشند، برای نوشتن یک مقسوم علیه از a می‌توانیم از عاملهای P1 به تعداد 0 و1 و......و α1 و از عاملهای P2 به تعداد 0 و 1و......و α2 و.... و بالاخره از عاملهای P1 به تعداد 0 و 1 و ... αn انتخاب کنیم که طبق اصل ضرب این عدد به تعداد (α1+1)X(α2+1)….(αn+1) مقسوم علیه خواهد داشت.

اصل ضرب

اگر از A1 به m1 ، A2 مسیر ، از A2 به m2 ، A3 مسیر و ... و از An به mn ، An+1 مسیر مستقل موجود باشد، آنگاه برای اینکه از A1 به An+1 برسیم، m1Xm2X...Xmn مسیر وجود خواهد داشت.

جذر

جذر یک عدد یعنی پیدا کردن ریشه آن عدد است. جذر nm برابر است با ریشه دوم nm.

انگاره گلدباخ

 انگاره‌ی گلدباخ (حدس گلدباخ) از جمله معروف‌ترین مسایل حل نشده‌ی ریاضیات می‌باشد.برای درک این مساله تنها کافیست با مفهوم اعداد اول آشنا باشید. این انگاره چنین است:هر عدد صحیح زوج بزرگ‌تر از 2 حاصل‌جمع دو عدد اول است.صورت معادل آن چنین است:هر عدد صحیح زوج بزرگ‌تر از 5 حاصل‌جمع سه عدد اول است.

تاریخچه

گلدباخ (1690 – 1764) به خاطر این حدس که آن را در سال 1742 در نامه‌ای به اویلر مطرح کرد، نامش در تاریخ ریاضیات باقی مانده است. او ملاحظه کرد در هر موردی که امتحان می‌کند، هر عدد زوج را (به جز 2 و 5) می‌توان به صورت مجموع سه عدد اول نوشت.اویلر حدس گلدباخ را تعمیم داد به طوری‌که هر عدد زوج بزرگ‌تر از 2 را می‌توان به صورت مجموع دو عدد اول نوشت. مثلاً 4=2+2 , 6=3+3 , 8=5+3 , 10=5+5 , 12=5+7 , 14=7+7 , 16=13+3 , 18=11+7 , 20=13+7 , … , 48 = 29 +19 , … , 100 = 97 + 3 , … گلدباخ از اویلر پرسید که آیا می‌تواند این مطلب را برای همه عددهای زوج ثابت کند و یا اینکه مثال نقضی برای آن بیابد؟ شواهد تجربی در تایید اینکه هر عدد زوج به این صورت قابل نمایش است، کاملاً قانع‌کننده است و هر کسی می‌تواند با امتحان کردن چند عدد زوج، این موضوع را تحقیق کند. منشأ دشواری در این است که عددهای اول بر حسب ضرب تعریف می‌شوند در حالی که این مسأله با جمع سروکار دارد. به طور کلی، اثبات رابطه بین ویژگیهای ضربی و جمعی اعداد صحیح کار مشکلی است.

تلاش‌ها برای اثبات

در سال 1931 اشنیرلمان (1905-1938) که در آن موقع یک ریاضیدان روس جوان و گمنام بود موفقیت مهمی در این زمینه به دست آورد که برای همه متخصصان غیرمنتظره و شگفت‌آور بود. او ثابت کرد هر عدد صحیح مثبت را می‌توان به صورت مجموع حداکثر 300000 عدد اول نمایش داد. گر چه این نتیجه در مقایسه با هدف اصلی یعنی اثبات انگاره‌ی گلدباخ مضحک به نظر می‌رسد، ولی این نخستین گام در آن جهت بود. این اثبات مستقیم و سازنده است، اما هیچ روش خاصی برای تجزیه یک عدد صحیح دلخواه به اعداد اول ارائه نمی‌کند.

بعدا وینوگرادوف ریاضیدان روس با استفاده از روشهای هاردی ، لیتلوود و همکار هندی برجسته آنها رامانوجان در نظریه تحلیلی اعداد ، موفق شد تعداد عددهای اول مورد لزوم را از 300000 به 4 کاهش دهد. این نتیجه به تعداد مطلوب در انگاره گلدباخ بسیار نزدیکتر است ولی تفاوت عمده‌ای بین حکم اشنیرلمان و حکم وینوگرادوف وجود دارد که شاید مهمتر از اختلاف میان 300000 و 4 باشد. قضیه وینوگرادوف فقط به ازای همه اعداد صحیح «به اندازه کافی بزرگ» ثابت شده است؛ به بیان دقیقتر، او ثابت کرد عدد صحیح N ای وجود دارد به طوری که هر عدد صحیح n>N را می‌توان به شکل مجموع حداکثر 4 عدد اول نشان داد. اثبات وینوگرادوف راهی برای براورد کردن N به ما نشان نمی‌دهد، و بر خلاف اثبات اشنیرلمان، اساساً غیرمستقیم و غیرسازنده است. در حقیقت، چیزی که وینوگرادوف ثابت کرد این است که فرض نامتناهی بودن تعداد عددهای صحیحی که قابل تجزیه به حداکثر 4 عدد اول نیستند، به نتیجه نامعقولی می‌انجامد. در اینجا با نمونه خوبی از تفاوت عمیق میان دو نوع اثبات، مستقیم و غیرمستقیم، رو به روییم.

در سال 1956 باروتسکین با نشان دادن اینکه عدد exp(exp(16/038))=n در قضیه وینوگرادف کافیست گام دیگری در این راه نهاد.

در 1919 ویگوبرون رویکرد متفاوتی با عنوان روش غربال مطرح کرد که تعمیمی از غربال اراتستن است. او ثابت کرد هر عدد صحیح زوجی که به قدر کافی بزرگ باشد ، مجموع دو عدد است که هر کدام از آنها حاصل‌ضرب حداکثر 9 عدد اول هستند.

در 1937 ریچی ثابت کرد هر عدد زوجی که به قدر کافی بزرگ باشد مجموع دو عدد است که یکی حاصل‌ضرب حداکثر دو عدد اول و دیگری حاصل‌ضرب حداکثر 366 عدد اول است.

کُن با بهره‌گیری از ایده‌های ترکیبیاتی بوخشتاب ثابت کرد هر عدد زوج بقدر کافی بزرگ مجموع دو عدد است که هر یک حاصل‌ضرب حداکثر چهار عدد اول است.

در 1957 ، ونگ یوان با فرض درست بودن صورت تعمیم یافته فرضیه ریمان ثابت کرد هر عدد صحیح زوج بقدر کافی بزرگ ،‌مجموع یک عدد اول و حاصل‌ضرب حداکثر سه عدد اول است.

در 1948 آلفرد بدون استفاده از صورت تعمیم یافته فرضیه ریمان ثابت کرد که هر عدد زوج بقدر کافی بزرگ مجموع یک عدد اول و حاصل‌ضرب حداکثر c عدد اول است. ( c عددی ثابت و مجهول است).

در 1961 باربن نشان داد که c=9 برای این منظور کفایت می‌کند.

در 1962 ، پان چنگ دونگ این مقدار را به c=5 کاهش داد. مدت کوتاهی پس از آن باربن و پان ، مستقل از هم ،‌آن را به c=4 کاهش دادند.

در 1965 بوخشتاب این قضیه را به ازای c=3 کاهش داد.

در 1966 ، چن جینگ ران روش غربال را بهتر کرد و قضیه را به ازای c=2 ثابت کرد. یعنی

هر عدد صحیح زوجی که به قدر کافی بزرگ باشد ، مجموع یک عدد اول و حاصل‌ضرب حداکثر دو عدد اول است.

قضیه پاسکال

بلز پاسکال در سن 16 سالگی قضیه‌ای را مطرح نمود که تعمیمی از قضیه‌ی ساده‌تر دیگر منسوب به پاپوس اسکندرانی بود . صورت این قضیه چنین است : اضلاع متقابل یک شش‌ضلعی محاط در مقطعی مخروطی ، یکدیگر را در سه نقطه‌ی هم‌خط قطع می‌کنند. این قضیه در هندسه‌ی تصویری دوگان قضیه‌ی بریانشون می‌باشد.

درک قضیه پاسکال با بیان زیر ساده‌تر است: شش نقطه‌ی 1 ، 2 ، 3 ، 4 ،‌ 5 و 6 روی یک مقطع مخروطی داده شده‌اند. نقطه‌های متوالی را بوسیله‌ی خط‌های ( 2 ، 1 ) ، ( 3 ، 2 ) ، ( 4 ، 3 ) ، ( 5 ، 4 ) ، ( 6 ، 5 ) ، ( 1 ، 6 ) به هم وصل می‌کنیم. نقطه‌های تقاطع ( 2 ، 1 ) با ( 5 ، 4 ) ، ( 3 ، 2 ) با ( 2 ، 1 ) و ( 6 ، 5 ) با ( 1 ، 6 ) را مشخص می‌کنیم. در این صورت ، این سه نقطه بر یک خط راست واقعند.                           

قضیه‌ی بریانشون

قضیه: اگر ضلع‌ های یک شش ضلعی یک در میان از نقطه‌های ثابت P و Q بگذرند، آنگاه سه قطری که راس‌های متقابل شش ضلعی را به هم وصل می‌کنند، همرس هستند .

این قضیه دوگان ، قضیه پاسکال می‌باشد.

اثبات:می‌توان نقطه P و نقطه تقاطع دو تا از قطرها، مثلاً 14 و 36، را با یک عمل تصویر به بینهایت فرستاد. بنابر 36 | | 14 داریم a / b = u / v ولی x / y = a / b و u / v = r / s. پس x / y = r / s و 25 | | 36 ، بنابراین هر سه قطع موازی و در نتیجه همرس‌اند. این برای اثبات قضیه در حالت کلی کفایت می‌کند.