دانلود با لینک مستقیم و پر سرعت .
ک پرداخت و دانلود *پایین مطلب*
فرمت فایل:Word (قابل ویرایش و آماده پرینت)
تعداد صفحه:57
فهرست مطالب
مقدمه
کسی که هندسه نمیداند از این در داخل نشود،
کتیبة سر در روی آکادمی افلاطون
بیشتر مردم نمیدانند که در حدود یک سده و نیم پیش انقلابی در زمینة هندسه روی داد که از لحاظ علمی به عمق انقلاب کوپرنیکی در نجوم، و از جنبة نتایج فسلفی به اهمیت نگرة تکامل داروین بود. کاکستر[1]، هندسهدان کانادایی مینویسد: «تأثیر کشف هندسة هذلولوی در تصوری که از حقیقت و واقعیت داریم آنچنان عمیق بوده است که بدشواری میتوانیم تصور کنیم که امکان وجود هندسهای غیر از هندسة اقلیدسی تا چه اندازه در سال 1820 تکان دهنده جلوه کرده است.» اما همة ما امورزه نام هندسة فضا – زمان نگرة نسبیت اینشتاین را شنیدهایم. «در واقع، هندستة پیوستار[2] فضا – زمان به حدی به هندسة تا اقلیدسی وابسته است که آگاهی از این هندسهها شرط لازم برای درک کامل جهانشناسی نسبیت است.»
هندسة اقلیدسی، همان هندسهای که شما در دبیرستان خواندهاید، هندسهای است که بیشتر برای تجسم جهان مادی به کار میبریم. این هندسه از کتابی به نام اصول[3] به دست ما رسیده که توسط اقلیدس، ریاضیدان یونانی، در حدود 300 سال پیش از میلاد مسیح نگاشته شده است. تصوری که ما براساس این هندسه از جهان مادی پیدا کردهایم تا حد زیادی به توسط آیزک نیوتن در اواخر سدة هفدهم ترسیم شده است.
هندسههایی که اقلیدسی نیستند از مطالعة عمیقتر موضوع توازی در هندسة اقلیدسی پیدا شدهاند. دو نیمخط موازی عمود بر پاره خط PQ را در نمودار زیر در نظر بگیرید:
در هندسة اقلیدسی فاصلة (عمودی) بین دو نیمخط هنگامی که به سمت راست حرکت میکنیم همواره مساوی فاصلة P تا Q باقی میماند؛ ولی در اوایل سدة نوزدهم دو هندسة دیگر پیشنهاد شد. یکی هندسة هذلولوی (از کلمة یونانی هیپربالئین به معنی «افزایش یافتن») که در آن فاصلة میان نیمخطها افزایش مییابد، دیگری هندسة بیضوی[4] (از کلمة یونانی الیپن «کوتاه شدن») که در آن این فاصله رفته رفته کم میشود و سرانجام نیمخطها همدیگر را میبرند. این هندسههای نااقلیدسی بعدها به توسط ک.ف. گاوس و گ.ف.ب. ریمان در قالب هندسة کلیتری بسط داده شدند (همین هندسة کلیتر است که در نگرة نسبیت عام اینشتاین مورد استفاده قرار گرفته است[5]).
در این کتاب ما به هندسههای هذلولوی و اقلیدسی خواهیم پرداخت. هندسة هذلولوی تنها به تغییر یکی از اصول اقلیدس نیاز دارد، و میتواند به همان آسانی هندسة دبیرستانی فهیمده شود. از سوی دیگر، هندسة بیضوی شامل مفهوم توپولوژیک تازة «سوناپذیری» است، زیرا همة نقاط صفحة بیضوی که بر روی یک خط نیستند در یک طرف آن خط قرار داردند. از این هندسه نمیشود به همان سهولت هندسة اقلیدسی صبحت کرد، زیرا به بسط قبلی هندسة تصویری نیاز دارد. بنابراین بحث در بارة هندسة بیضوی را در یک ضمیمة کوتاهی انحام دادهام. (اشتباه نشود! منظو ما این نیست که ارزش هندسة بیضوی کمتر از ارزش هندسة‌هذلولوی است.) فهم هندسة ریمانی مستلزم درک کامل محاسبات دیفرانسیل و انتگرال، و لذا بیرون از ظرفیت این کتاب است (در ضمیمه «ب» مختصری راجع به آن بحض شده است).
فصل اول با تاریخچة مختصری در باب هندسه در دوران قدیم آغاز میشود، و به بیان اهمیت بسط روش بنداشتی[6] توسط یونانیان ادامه مییابد. همچنین پنج اصل موضوع اقلیدس معرفی و به تلاش لژاندر برای اثبات اصل موضوع پنجم ختم میشود. برای پیدا کردن نقص برهان لژاندر (و برهانهای دیگر)، لازم است که مبانی هندسه دو باره دقیقاً مورد بررسی قرار گیرد. ولی، پیش از آنکه بتوانیم اساساً هندسهای بنا کنیم، باید به بعضی از اصول بنیادی منطق آگاهی داشته باشیم. این اصول در فصل دوم به گونهای غیر رسمی دوباره بررسی شدهاند. در این فصل عناصر مشکلة یک برهان دقیق را از نظر میگذرانیم و بویژه به روش اثبات نامستقیم یا برهان خلف تکیه میکنیم. فصل دوم به مفهوم بسیار مهم الگو[7] برای یک دستگاه بنداشت ختم میشود، که با الگوهای متناهی از بنداشتهای وقوع نقاط و خطوط در هندسه نشان داده شدهاند.
فصل سوم با بحثی از برخی نقایص در نحوة ارائة هندسه به توسط اقلیدس آغاز شده، و این نقایص با ارائه کامل بنداشتهای داوید هیلبرت (با اندکی تغییر) و نتایج اولیة آنها برطرف شدهاند. ممکن است هنگام اثبات نتایجی که خودبخود بدیهی به نظر میرسند بیحوصله شوید. اما، هرگاه بخواهید با اطمینان در فضای نااقلیدسی کشتی برانید باید به این کار اساسی تن درهید.
مطالعة نتایج بنداشتهای هیلبرت، جز اصول نوازی، در فصل چهارم ادامه یافته است.
موضوع این مطالعة هندسة نتاری نامیده شده است. بعضی از قضیههای اقلیدس (مثل قضیة زاویة خارجی) را که شما با آنها آشنایی دارید، با روشی غی از روشهایی که به توسط اقلیدس به کار رفتهاند اثبات خواهیم کرد. این تغییر به علت شکافهای منطقی موجود در استدلالاهای اقلیدس لازم بوده است؛ همچنین برخی قضایا را که اقلیدس نمیتوانسته است بر آنها واقف باشد (مانند قضیة‌ساکری – لژاندر) ثابت خواهیم کرد.
به اتکای پایههای محکمی که در فصول مقدم بر فصل پنجم گذاشته شدهاند، آمادگی خواهیم داشت که در فصل پنجم چند تلاش مهم را که برای اثبات اصل توازی صورت گرفتهاند مورد تجزیه و تحلیل قرار دهیم (در تمرینات مجال خواهید داشت که نقایصی را در تلاشهای دیگر پیدا کنید). بر اثر این مطالعات، شیوة تفکر اقلیدسی شما چنان تکان میخورد که در فصل ششم میتوانیم «دنیا شگرف تازه»ای را کشف کنیم، دنیایی را که در آن مثلثها مجموع زوایای «نادرست» دارند، مستطیل وجود ندارد، خطوط موازی ممکن است واگرا و یا به طور مجانبی همگرا باشند. در ضمن این کار داستان هیجانانگیز تاریخی اکتشاف تقریباً همزمان هندسة هذلولوی توسط گاوس، بویوئی و لوباچفسکی، در اوایل سدة نوزدهم، را ورق خواهیم زد.
این هندسه با اینکه ناآشناست، به همان سازگاری هندسة اقلیدسی است. این نکته را در فصل هفتم هنگام بررسی سه الگوی اقلیدسی که در تجسم هندسة هذلولوی نیز ما را یاری میکند اثبات خواهیم کرد. الگوهای پوانکاره این برتری را دارند که در آنها زوایا به روش اقلیدسی اندازه گرفته میشوند؛ برتری الگوی بلترامی – کلاین در نمایش خطوط توس پارهخطهای اقلیدسی است. همچنین در فصل هفتم از مطالبی از هندسة اقلیدسی بحث خواهیم کرد که در کتابهای دبیرستانی ذکری از آنها نشده است.
سرانجام،فصل هشتم به طریقی کلی برخی از استلزامهای فلسفی هندسههای نااقلیدسی را دربر میگیرد. عرضة مطالب تعمداً به گونهای جدلی صورت گرفته است و منظور از مقالههای انشایی برانگیختن خواننده و تشویق او به تفکر و مطالعة بیشتر است.
بسیار مهم است که شما همة تمرینات را حل کنید، زیرا که نتایج تازه در ضمن تمرینات بسط داده شده و سپس در فصول بعدی مورد استفاده قرار گرفتهاند. با حل همة تمرینات، ممکن است شما هم به جایی برسید که از هندسه به اندازة من لذت ببرید.
هندسة اقلیدس
اصل توازی… در دوران کهن حل نهایی مسئلهای بود که بایستی ریاضیات یونان را زمانی دراز پیش از اقلیدس به خود مشغول داشته باشد.
هانس فروید نتهال
منشأ هندسه
واژة «ژئومتری» از دو واژه یونانی؛ ژئو، به معنی زمین، و متراین، به معنی اندازهگیری آمده است؛ هندسه در اصل علم اندازهگیری زمین بوده است. هرودت، مورخ یونانی (سدة پنجم قبل از میلاد)، پیدایش هندسه را به مساحان مصری نسبت میدهد. ولی تمدنهای کهن دیگر (بابلی، هندی، چینی) هم اطلاعات هندسی زیاد داشتهاند.
هندسة پیشینیان در واقع گرداوری از روشهای «قاعدة سرانگشتی» بود که از راه آزمایش. بررسی شباهتها، حدسها و شهودهای اتفافی، دست یافتن به آنها میسر شده بود. خلاصه، هندسه موضوعی تجربی بود که جوابهای تقریبی آن معمولاً برای مقاصد عملی کافی بودند. بابلیهای 2000 تا 1600 سال پیش از میلاد مسیح محیط دایره را 3 برابر قطرش میگرفتند. یعنی p را مساوی 3 اختیار میکردند. این همان مقداری است که ویتروویوس[8] معمار رومی به آن داده بود و در نوشتههای چینی همان مقدار پیدا شده است. حتی یهودیان باستانی این مقدار را مقدس میشمردند و میپنداشتند که کتاب مقدس آن ار تثبیت کرده است (کتاب اول پادشاهان، باب هفتم، آیة بیست و سوم) و تلاش خاخام نهه میا[9] برای تبدیل p به 7/22 به نتیجه نرسیده بود. مصریان سال 1800 پیش از میلاد، طبق پاپیروس رایند[10] مقداری تقریبی p را چنین میگرفتهاند:
[11]
حدسهای مصریان در پارهای از موارد درست و در پارهای دیگر نادرست بودند. یکی از کارهای برجستة آنان پیدا کردن دستور صحیح برای حجم هرم ناقص مربع القاعده بوده است. از سوی دیگر، چنین میپنداشتند که دستوری که برای مساحت مستطیل صحیح است برای هر چهار ضلعی نامشخص نیز میتواند صحیح باشد. هندسة مصری به معنی یونانی کلمه علم نبود، بلکه صرفاً انبانی بود پر از قواعد محاسبه، بیهیچ موجبی یا توجیهی.
بابلیان در حساب و جبر خیلی از مصریان پیشرفتهتر بودند. وانگهی، قضیة فیثاغورس را – که در هر مثلث قائم الزاویه مربع طول وتر مساوی با مجموع مربعات طولهای دو ضلع دیگر است – خیلی پیش از آنکه فیثاغورس به دنیا بیاید میدانستند. تحقیات اخیر اتونویگه باوئر[12] تأثیر جبر بابلیان بر ریاضیات یونانی را که قبلاً نادانسته بود مکشوف ساخته است.
ولی یونانیان. و پیش از همه طالس ملطی،[13] اصرار میورزیدند که احکام هندسی باید از راه استدلال قیاسی ثابت شوند نه از راه آزمایش و خطا. طالس با محاسبات قسمتی درست و قسمتی نادرست که از ریاضیات بابلی و مصری در دست بود آشنایی داشت. وی ضمن کوشش برای تمیز نتایج درست از نادرست، نخستین هندسة منطقی را بنیاد نهاد. (طالس به سبب پیشگویی خورشیدگرفتگی سال 585 پیش از میلاد نیز مشهور است). استخراج منظم قضایا از راه اثبات، از مشخصات ریاضیات یونانی و کاملا تازه بوده است.
نظام بخشی و تابع اصول سازی که با طالس آغاز شده بود، مدت دو سده توسط فیثاغورش و شاگردانش ادامه یافت. معاصران فیثاغورش در او به دیدة پیامبری دینی مینگریستند. او به ابدیت روح و تناسخ معتقد بود. او از پیروان خود یک «جمعیت برادری» تشکیل داد که آداب تهذیب و تزکیهای خاص خود داشت، و پیرو عقاید گیاهخواری و اشتراک اموال بود. تمایز فیثاغورسیان از دیگر گروههای مذهبی در این بود که آنان اعتلای روح و یگانگی با خدا را از راه مطالعة موسیقی و ریاضی میسر میدانستند. در موسیقی، فیثاغورس نسبتهای صحیح فواصل هارمونیک را حساب کرد. در ریاضیات، خواص مرموز و شگفتانگیز اعداد را تعلیم میداد. کتاب هفتم اصول اقلیدس که کتابی در بارة نگرة اعداد است، در مکتب او آموخته میشد.
زمانی که فیثاغورسیان طولهای کنگ، نظیر را کشف کردند به سختی یکی خوردند (¬فصل دوم صفحات 34-35). در آغاز کوشیدند که این کشف را پوشیده نگاه دارند. پروکلوس[14] مورخ مینویسد: «هم میدانیم مردی که نخستین بار نگرة اعداد کنگ را آشکار ساخت هنگام غرق یک کشتی از میان رفت، تا چیزی که بیان نشدندی و تصور ناپذیر است برای همیشه پوشیده بماند». از آنجایی که فیثاغورسیان را عدد نمیشمردند، جبر خود را به صورت هندسی درآوردند تا بتوانند و طولهای کنگ دیگر را به توسط پاره خط (مثلاً را با قطر مربعی به ضلع واحد) نشان دهند.
پیریزی منظم هندسة مسطحه توسط مکتب فیثاغورش را بقراط ریاضیدان (با طبیبی به همین نام خلط نشود) در حدود سال 400 پیش از میلاد مسیح در کتاب اصول سروصورتی داد. با اینکه این کتاب گم شده است، میتوانیم با اطمینان خاطر بگوییم که قسمت اعظم کتابهای اول تا چهارم اصول اقلیدس را، که یک سده بعد منتشر شده، دربرداشته است. فیثاغورسیان هرگز قادر نبودند نگرة تناسبهایی را که بر طولهای کنگ نیز جاری باشد بسط دهند. این کار بعداً توسط ائودوکسوس،[15] که نگرهاش در کتاب پنجم اصول اقلیدس گنجانیده شده است، انجام گرفت.
سدة چهارم پیش از میلاد مسیح ناظر شکوفایی آکادمی علوم و فلسفة افلاطون (که در حدود سال 387 پیش از میلاد بنیاد نهاده شد) بود. افلاطون در کتاب جمهوری مینویسد: «مطالعة ریاضیات دستگاهی ذهنی را توسعه میدهد و به کار میاندازد که ارزش آن از هزار چشم بیشتر است، زیرا که درک حقیقت فقط از راه ریاضی میسر است». افلاطون میآموخت که جهان اندیشه مهمتر از جهان مادی حواس است. زیرا که این جهان سایة جهان اولی است. جهان مادی غاری است ناروشن که بر روی دیوارهای آن تنها سایههای جهان واقعی خارج را که به نور خورشید روشن شده است، میبینیم. خطاهای حواس باید از راه تمرکز فکر اصلاح شوند، که خود این تمرکز از راه مطالعة ریاضیات بهتر میسر میشود. روش سقراطی محاوره اصولا روش اثبات نامستقیم است، که با آن نشان داده میشود که حکم زمانی نادرست است که به تناقضی منجر شود. افلاطون کراراً اثبات کنگ بودن طول قطر مربعی به اضلاع واحد را به عنوان مثالی برای یک روش اثبات نامستقیم (()برهان خلف، فصل دوم، صفحات 23-35) آورده است. نکته اینجاست که این کنگ بودن طول هرگز نمیتوانسته از راه اندازهگیریهای عینی، که همیشه متضمن یک حاشیة کوچک تجربی خطاست، کشف شود.
اقلیدس شاگر مکتب افلاطون بود. در حدود 300 سال پیش از میلاد روش قاطع هندسة یونانی و نگرة اعداد را در اصول سیزده جلدیش منتشر کرد. با تنظیم این شکاهار، اقلیدس تجربه و کارهای مهم پیشینیان خود در سدههای جلوتر را گرد هم آورد: تجارب فیثاغورسیان را در کتابهای اول تا چهارم و هفتم و نهم؛ نتایج کارهای آرکیتاس[16] را در کتاب هشتم؛ کارهای ائودوکسوس را در کتابهای پنجم، ششم، دوازدهم، و کارهای تئه تتوس[17] را در کتابهای دهم و سیزدهم. کتاب اقلیدس چنان به طور کامل جانشین کوششهای پیشین در شناسانیدن هندسه شد که کمتر نشانهای از آن کوششها به جا ماند. جای تأسف است که بازماندگان اقلیدس قادر نبودند حق تألیف کتاب او را گردآوری کنند؛ چون نامبرده مؤلفی است که اثرش بیش از هرکسی در تاریخ بشریت خوانده شده است. روش او در هندسه متجاوز از دو هزار سال بر تعلیم این ماده مسلط بود. وانگهی، روش بنداشتی که اقلیدس به کاربرد الگویی است برای آنچه که ما امروز «ریاضیات محض[18]» مینامیم. «محض» به معنی «اندیشة محض» است: هیچ تجربة عینی برای تحقیق درستی احکام لازم نیست – تنها باید مراقب استدلال در اثبات قضایا بود.
اصول اقلیدس از این حیث هم «محض» است که متضمن هیچ کاربرد علمی نیست؛ البته، هندسة اقلیدسی مورد استعمال بسیار در مسائل عملی مهندسی داشته است، ولی در اصول اشارهای به آنها نشده است. در افسانه آمده است که یکی از آموزندگان مبتدی هندسه از اقلیدسی پرسید: «از آموختن این مطالب چه عاید من میشود؟» اقلیدس غلامش را خواند و گفت: «سکهای به او بده، چون که میخواهد از آنچه که فرا میگیرد چیزی عایدش شود». این گونه تلقی از کاربرد ریاضیات در میان بسیاری از ریاضیدانان محض تا به امروز متداول مانده است – آنها ریاضیات را صرفاً برای خودش، و برای زیبایی و ظرفات ذاتیش فرا میگیرند.
چنانکه بعداً خواهیم دید، جای شگفتی است که ریاضیات محض اغلب کاربردهایی پیدا میکند که خالق آن هرگز خوابش را هم نمیدیده است – دورنمای «غیر عملی» ریاضیات محض، در نهایت، برای اجتماع مفید است. گذشته از آن، آن بخشهایی از ریاضیات هم که «کاربسته» نبودهاند برای اجتماع ارزش دارند، خواه به عنوان آثاری زیبا که با هنر و موسیقی قابل مقایسهاند و خواه از لحاظ سهم بزرگی که در بسط فهم و خودآگاهی انسان داشتهاند.[19]
روش بنداشتی[20]
ریاضیدانان برای کشف قضایا ممکن است از راههای آزمایش و خطا، محاسبة حالات ویژه، حدس در نتیجة الهام، و یا از هر راه دیگری استفاده کنند. روش بنداشتی روشی برای اثبات درستی نتایج است. برای برخی از نتایج مهم در ریاضیات اساساً تنها دلیلهای ناقص داده شده بوده است (خواهیم دید، که حتی اقلیدس هم در این زمینه مقصر بوده است). ولی مهم نیست، زیرا که دلیل درست، عاقبت (اغلب بسیار دیر) فراهم میشود و جهان ریاضی خشنود میگردد.
بنابراین، دلیلها به ما اطمینان میدهند که نتیجهها درست هستند. در بسیاری از موارد این استدلالها نتایج کلیتری را عاید میکنند. مثلا، مصریان و هندیان به تجربه دریافته بودند که هرگاه اضلاع مثلثی 3 و 4 و 5 باشند، آن مثلث قائم الزاویه است. اما یونانیان ثابت کردند که اگر اضلاع a و b وc از مثلثی چنان باشند که ، آنگاه مثلث قائم الزاویه است. برای کسب اطمینان از درستی این نتیجه لازم است بینهایت بار به آزمایش بپردازیم (و بعلاوه، آزمایشها تنها اندازة تقریبی اشیاء را به ما میدهند). بالاخره، استدلال بینشی شگرف از روابط بین اشیاء مختلفی که مطالعه میکنیم به ما میبخشد و ما را ملزم میسازد که اندیشههای خود را به گونهای منسجم سازمان دهیم.
روش بنداشتی چیست؟ اگر بخواهم از راه استدلال محض شما را متقاعد سازم که حکم 1S را بپذیرید، باید بتوانم نشان دهم که این حکم چگونه به طور منطقی از حکم دیگر 2S، که شما قبلاً آن را پذیرفتهاید، نتیجه میشود. ولی اگر شما 2S را قبول نداشته باشید، من باید نشان دهم که 2S چگونه به طور منطقی از یک حکم دیگر 3S نتیجه میشود. ممکن است لازم شود این عمل را چند بار تکرار کنم تا به حکمی برسم که شما آن را میپذیرید و احتیاجی به اثبات آن نیست. حکم اخیر نقش یک بنداشت (یا اصل موضوع) را ایفا میکند. اگر نتوانم به حکمی برسم که شما به عنوان مبنای استدلال من بپذیرید، دچار «تسلسل» خواهم شد، یعنی باید دلیل پشت دلیل بیاورم بی آنکه پایانی داشته باشد.[21]
پس باید دو شرط مسلم شوند تا درستی برهانی را بپذیریم:
شرط 1. پذیرفتن احکامی به نام «بنداشت» یا «اصل موضوع» که به هیچ توجیه دیگری نیاز نداشته باشند.
شرط 2. توافق بر اینکه کی و چگونه حکمی «به طور منطقی» از حکم دیگر نتیجه میشود، یعنی توافق در برخی از قواعد استدلال.
کار عظیم اقلیدس این بود که چند اصل ساده، چند حکم که بینیاز به توجیهی پذیرفتنی بودند دستچین کرد، و از آنها 465 گزاره نتیجه گرفت، که بسیاری از آنها پیچیده بودندو به طور شهودی بدیهی نبودند و تمام اطلاعات زمان او را دربرداشتند. یک دلیل بر زیبایی اصول اقلیدس این است که این همه را از آن اندک نتیجه گرفته است.
اصطلحات تعریف نشده (حدود اولیه)
در اینکه برای پذیرفتن درستی استدلالی چه لازم است بحث کردیم. اینک شرطی که آن را مسلم میشماریم:
شرط O. تفاهم متقابل در معنی واژهها و نمادهایی که در سخن به کار برده میشوند.
تا وقتی که اصطلاحاتی را که به کار میبریم برای هردوی ما آشناست و از آنها به نحوی سازگار استفاده میکنیم در تفاهم متقابل مشکلی وجود ندارد. اگر من اصطلاح ناآشنایی را به کار ببرم شما حق دارید تعریف آ نرا از من بخواهید. تعاریف را به دلخواه نمیتوان داد؛ تعاریف تابع قواعد استدلالیبی هستند که در شرط 2 به آنها اشاره کردیم (ولی آنها را مشخص نکردیم). مثلاً اگر زاویة قائمه را زاویه ْ90 تعریف کنم و زاویة ْ90 را زاویة قائمه تعریف کنم، آنگاه از قاعدة خلاف استدلال دوری عمل نمودن تخلف کردهام.
و نیز، هر اصطلاحی را که به کار میبریم نمیتوانیم تعریف کنیم. برای اینکه اصطلاحی را تعریف کنیم باید اصطلاحهای دیگری را بکار بریم و برای تعریف این اصطلاحها، باید بازهم از اصطلاحهای دیگری استفاده نماییم، و به همین قیاس، اگر مجاز نباشیم برخی از اصطلاحات را تعریف نشده بپذیریم دچار دور یا تسلسل خواهیم شد.
اقلیدس نهایت سعی خود را کرد که همه اصطلاحات هندسی را تعریف کند. او «خط مستقیم» را چنین تعریف میکند: «خطی که به نحوی هموار بر نقاطی که بر خود آن هستند قرار داشته باشد». این تعریف، مفید فایدهای نیست زیرا که برا فهمیدن آن شما باید قبلاً تصوری از خط داشته باشید. پس بهتر است «خط» را به عنوان اصطلاحی تعریف نشده بپذیریم. همچنین اقلیدس «نقطه» را «چیزی که هیچ جزء ندارد» تعریف میکند – که باز جندان روشن نیست. پس «نقطه را هم به عنوان اصطلاحی تعریف نشده میپذیریم. اینک پنج اصطلاح تعریف نشده که مبنایی است برای تعریف همة اصطلاحات هندسی دیگر در هندسة مسطحة اقلیدسی:
- نقطه
- خط
- «قرارداد (دارند) بر» (مثلا در: دو نقطه فقط بر یک خط منحصر به فرد قرار دارند)
- «میان» (مثلاً در: نقطة C میان نقاط A و B قرار دارد)
- قابل انطباق[22]
برای هندسة فضایی ناگزریم اصطلاح هندسی تعریف نشدة دیگری یعنی «صفحه» را بپذیریم و نسبت «قرار دارد بر» را تعمیم دهیم تا قرار گرفتن نقاط و خطوط را بر صفحه میسر سازیم. در این کتاب (مگر اینکه خلاف آن ذکر شود) خود را به هندسه مسطحه یعنی به یک صفحة تنها محدود میکنیم و لذا صفحه را چنین تعریف میکنیم: مجموعة نقاط و خطوطی است که گفته میشود همة آنها «بر آن قرار دارند».
عبارتهایی هستند که اغلب با عبارت «قرار دارد بر روی…» مرادف هستند. به جای اینکه بگوییم «نقطهP بر خطl قرار داد» گاهی میگوییم «خطl از نقطة Pمیگذرد» یا «Pبرl واقع است». اگر نقطه Pهم بر خطl و هم بر خطm واقع باشد، میگوییم «l وm در نقطة Pمشترکاند» یا «l وm در نقطة Pمتقاطعاند» یا «l وm در نقطة Pمتلاقیاند».
دومین اصطلاح تعریف نشده یعنی «خط» را با «خط مستقیم» مرادف میگیریم. صفت «مستقیم» که تصرفی در نام «خط» میکند گمراه کننده است. همچنین ما از «خطوط منحنی» صحبت نمیکنیم. با اینکه واژه «خط» تعریف نخواهد شد، بنداشتهای هندسة ما کاربرد آن را محدود خواهد ساخت. مثلاً، یکی از بنداشتها میگوید از هر دو نقطة مفروض تنها یک خط میگذرد. بدین ترتیب خطوط lوm در شکل 1.1 نمیتوانند معرف دو خط در هندسة ما باشند، زیرا که هر دو بر نقاطP وQ میگذرند. شما بایدl وm را «خم» بنامید نه «خط».
اصطلاحات ریاضی دیگری هم وجود دارند که ما ناگزیریم از آنها استفاده کنیم و چون تعریفی برای آنها قائل نمیشویم، باید آنها را به فهرست اصطلاحات تعریف نشده بیفزاییم. پیشتر به آنها نپرداختیم. به این دلیل که آنها ماهیت خاص هندسی ندارند، بلکه چیزهایی هستند که اقلیدس آنها را «بنداشت علوم متعارفه» مینامد. معهذا چون ممکن است در بارة این اصطلاحات دچار ابهامی بشویم، گفتن نکتهای چند لازم است.
واژة «مجموعه» در همة ریاضیات امروزی بنیادی است و اکنون در دبستانها هم به کار برده میشود. بنابراین تردیدی نیست که شما با کاربرد آن کاملاً آشنایی دارید. فکر کنید مجموعه «انبوهی است از اشیاء». دو مفهوم وابسته به آن هستند: یکی «تعلق داشتن به» یک مجموعه یا «بودن عضو یا عنصر» یک مجموعه است. مثل این قرارداد که میگوییم همة نقاط و همة خطها به صفحه «تعلق دارند». اگر هر عضو یک مجموعة S عضوی از یک مجموعة T هم باشد، میگوییم S در T «گنجیده است» و یا ««جزیی است از » T یا «زیرمجموعة» T است. مثلاً مجموعة تمام کودکان زیر مجموعهای است از تمام مردم.
در زبان مجموعهها دو مجموعة S و T را زمانی مساوی یکدیگر گوییم که هر عضو S عضو T باشد و بعکس. مثلاً S یعنی مجموعة همة مولفان اصول اقلیدس (به جرأت میتوانیم بگوییم) مساوی با مجموعهای است که تنها عضوش اقلیدس است. پس در این مورد «تساوی» به معنی «همانی» است.
اقلیدس واژة «مساوی» را در معنی متفاوت دیگری هم به کار میبرد. مثلاً در این حکم: «در مثلث متساوی الساقین زاویههای مجاور به قاعده مساوی هستند». منظور او این است که در یک مثلث متساویالساقین تعداد درجههای زاویههای مجاور به قاعده یکی است، نه اینکه خود آن دو زاویه یکی هستند. لذا در این گونه موارد برای جلوگیری از اشتباه، ما دیگر از واژه مساوی به معنی اقلیدسی استفاده نمیکنیم، بلکه به جای آن اصطلاح تعریف نشدة قابل انطباق را به کار خواهیم برد. میگوییم «در یک مثلث متساوی الساقین زاویههای مجاور به قاعده قابل انطباقاند. همچنین نمیگوییم: «اگر AB مساوی AC باشد، آنگاه DABC متساوی الساقین است». بنابر تعریفی که از واژه تساوی کردهایم اگر AB مساوی AC باشد، DABC اساساً‌یک مثلث نخواهد بودبلکه تنها یک پاره خط است. به جای آن میگوییم: «اگر AB قابل انطباق با AC باشد، DABC متساوی الساقین است». این کاربرد از اصطلاح تعریف نشدة قابل انطباق کلیتر از مفهومی است که شما به آن عادت کردهاید. و این نه تنها برای مثلثها، بلکه برای زاویههای و پاره خطها هم به کار برده خواهد شد. برای اینکه بفهمید این واژه را در کجا باید به کار ببرید چنین تجسم کنید که اشیاء قابل انطباق «شک و اندازهشان یکی است».
البته باید تصریح کنیم (همان کاری را که اقلیدس در «بنداشت علوم متعارفه» کرد) که «یک شیء با خودش قابل انطباق است» و «شیءهای قابل انطباق با یک شیء، خودشان با هم قابل انطباقاند». احکامی از این قبیل را بعداً در میان بنداشتهای قابلیت انطباق (فصل سوم) خواهیم گنجانید.
فهرست، اصطلاحات هندسی تعریف نشدهای را که در بالا آوردیم متعلق به داوید هیلبرت[23] است. وی در کتابش به نام مبانی هندسه (1899) نه تنها تعاریف اقلیدس را روشن ساخت بلکه شکافهایی را هم که در برخی از براهین اقلیدس وجود داشت پرکرد. هیلبرت دریافت که برهان اقلیدس از ملاک «دو ضلع و زاویة بین آنها» برای قابلیت انطباق مثلثها براساس فرضی بیان نشده (اصل برهمنش) بنا نهاده شده است و این ملاک را باید یک بنداشت به شمار آورد. هیلبرت همچنین از کتاب موریتس باش،[24] که در 1882 نخستین کتاب دقیق در هندسه را منتشر کرده بود، استفاده کرد. پاش فرضهای بیان نشدة اقلیمی در باب «میانبود[25]» را صریح ساخت. از جملة ریاضیدانانی که تلاش کردهاند تا بنیاد محکمی برای هندسة اقلیدسی بریزند باید از: ج.پئانو[26]، م.پیری[27]، ورونز[28]، ا.ویلن[29]، ربینسون[30]، ا.و هنتینگتن[31] و فوردر[32] نام برد. هر یک از این ریاضیدانان صورتی از اصطلاحات تعریف نشده را به کار میبرد که با فهرست اصطلحات تعریف نشدة هیلبرت تفاوت دارد. مثلاً، پیری تنها به دو اصطلاح تعریف نشده اکتفا کرده است و در نتیجه، بنداشتهای او پیچیدهتر شدهاند.
چهار اصل اول اقلیدس
اقلیدس هندسه خود را براساس پنج فرش بنیادی به نام بنداشت یا اصل موضوع[33] بنا نهاد.
اصل اول اقلیدس. به ازای هر نقطةP و هر نقطةQ که با Pمساوی نباشد خط یکتایی مانندl وجود دارد که برP وQ میگذرد.
این اصل اغلب به صورت غیر رسمی چنین بیان میشود: هر دو نقطه یک خط منحصر به فرد را مشخص میسازند. ما یگانه خط مار بر نقاطP وQ را با نشان میدهیم.
برای بیان اصل دوم به تعریف زیر نیاز داریم:
تعریف دو نقطة AوB داده شدهاند. پاره خط ABمجموعهای است که اعضای آن نقاطA وB و همة نقاطی هستند که بر میانA وB قرار دارند. دو نقطة مفروض AوB دو سر پاره خط AB [34]نامیده میشوند.
اصل دوم اقلیدس. به ازای هر پاره خط AB و هر پاره خط CD نقطة منحصر به فردی
چون E وجود دارد چنانکه B میان A و E واقع است و پاره خط CD با پاره خط BE، قابل انطباق است.
این اصل اغلب به طور غیر رسمی چنین بیان میشود: «هر پاره خط AB را میتوان به اندازة پاره خط BE، که با پاره خط داده شده CD قابل انطباق است، امتداد داد.» توجه کنید که در این اصل ما اصطلاح تعریف نشدة «قابل انطباق» را به روش تازة مذکور در بالا به کار بردهایم و برای بیان این امر که CD قابل انطباق با BE است از علامت متداول استفاده میکنیم.
برای بیان اصل سوم باید تعریف دیگری را وارد کنیم:
تعریف. دو نقطة O و A داده شدهاند. مجموعة همه نقطههایی مانند P به طوری که پاره خط OP قابل انطباق با پاره خط OA باشد دایره به مرکز O نامیده میشود، و هر یک از پاره خطهای OP یک شعاع این دایره نام دارد.
از بنداشت قابلیت انطباق که پیش از این به آن اشاره کردیم (هر چیز با خودش قابل انطباق است) نتیجه میشود که . پس A نیز نقطهای است بر دایرهای که هم اکنون تعریف کردیم.
اصل سوم اقلیدس به ازای هر نقطة O و هر نقطة A که با O مساوی نباشد دایرهای به مرکز O و شعاع OA وجود دارد.
در حقیقت، چون ما زبان مجموعهها را بیشتر از زبان اقلیدس به کار میبریم، واقعاً لزومی به فرض این اصل نیست. این اصل نتیجهای است از نگرة مجموعهها که میگوید: مجموعة نقطههایی نظیر P وجود دارد چنانکه برای آنها . اقلیدس در ذهن خود ترسیم دایرة‌به مرکز O و شعاع OA میاندیشید. و این اصل به ما میگوید که چنین ترسیمی،مثلاً با پرگار، مجاز است. همچنین، در اصل دوم شما مجازید پاره خط AB را به کمک رسم پاره خط BE با یک خطکش نامدرج (ستاره)[35]امتداد دهید. این نحوة بیان ما موجب «پیرایش» اثر اقلیدس از هرگونه ارجاع به ترسیم میشود.[36]
تعریف. نیمخط عبارت از مجموعة نقاط واقع بر که به پاره خط AB تعلق داشته باشند و همة نقاطی نظیر C چنان باشند که B میان A و C قرار داشته باشد. اصطلاحاً میگویند نیمخط از A خارج شده و جزئی است از .
تعریف. نیمخطهای و را متقابل گوییم، هرگاه متمایز باشند و از یک نطقة A خارج شوند و جزئی از یک خط باشند.
تعریف. یک زاویه به رأس A عبارت است از نقطه A و دو نیمخط و (به نام ضعلهای زاویه) که از نقطة A خارج شدهاند و متقابل نیستند.[37]
ازن زاویه را با یاBAC Ð یا CAB Ð نشان میدهیم.
تعریف. هرگاه دو زاویة BAD Ð و CAD Ð در ضلع AD مشترک باشند و دو ضلع دیگر AB و AC آنها نیمخطهای متقابل باشند مکمل یکدیگرند یا زاویههای مکملاند.
